chądzyński 3

160 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI

7,

oo

(i)    (i - KI) < °°-

n=l

Ponieważ funkcja f ceruje się na zbiorze B, więc istnieje taki pod-ciąg {a„,} ciągu {a_n}, że B =    <i„,,...} i w myśl (1) mielibyśmy

EŁiO-KI) < oo. Ostatni szereg jest bezwarunkowo zbieżny, więc i po dowolnej zamianie porządku jego wyrazów jest zbieżny, dzyli zbieżny jest szereg    (1 ~ |6_n|), co jest sprzeczne z założeniem

zadania.

To kończy rozwiązanie.    ; □

9.4. Funkcyjne iloczyny nieskończone

Dalej mówić będziemy że iloczyn funkcyjny jest niemal jednostajnie zbieżny w zbiorze otwartym G C C, gdy jest on jednostajnie zbieżny na zwartych podzbiorach zbioru G.

Zadanie 1. Pokazać, że dla ztC mamy

°° /    4z²    \

(**)    cos 7rz = TT I 1----ó 1 »

b, V (2i/ — l)²/

przy czym powyższe iloczyny są bezwzględnie i niemal jednostajnie zbieżne w C.

Rozwiązanie. Pokażemy najpierw, że iloczyn n^Li ~ ps} j^est bezwzględnie i niemal jednostajnie zbieżny w C i jego wartość jest funkcją całkowitą. W tym celu wystarczy pokazać bezwzględną i jedno^ta.-jną zbieżność tego iloczynu do pewnej funkcji holomorficznej w dowolnym kole Kr = {z t C ^: \^z\ < /?,}. Zauważmy najpierw, że szereg Y^Li I (^zf¹-')² I jest jednostajnie zbieżny i ograniczony w Kr, bo ;

oo    oo

Y\(^Z/^VT\ -    YL    = (^^7r)² /6 dla z e Kr.

l/=l    V—\

Stąd, na mocy twierdzenia 1.54.3, iloczyn    ~    zbieżny

bezwzględnie i jednostajnie do pewnej funkcji holomorficznej w Kr.

Analogicznie pokazujemy, źe iloczyn n^Li    ) J^est bez

względnie i niemal jednostajnie zbieżny w C i jego wartość jest funkcją całkowitą.

Powróćmy teraz do wzoru (*). Wzór (*) zachodzi dla z = 0. Pokażemy zatem, że

<»    ™n(.-5) *

v—\    '    '

Ponieważ obie strony w (1) są fimkcjami holomorficznymi w zbiorze spójnym C \ {0}, więc na mocy twierdzenia 1.34.3 (o identyczności) wystarczy pokazać, że (1) zachodzi na pewnym odcinku zawartym w C\{0}.

Pokażemy teraz, że (1) zachodzi na odcinku (0,1/2) C R+. Z zadania 6.4.2 mamy

(2) 7r ctg7rt — (1/t) =    2t/(t² — z/²) dla t £ (0,1/2).

I/=l

j

Na odcinku (0,1/2) mamy |2t/ (t² — u²)\ < 1/ {y¹ — (1/4)). Zatem szereg po prawej stronie jest jednostajnie zbieżny na. tym odcinku do funkcji ciągłej. W konsekwencji funkcja po lewej stronie (2) rozszerza się jako ciągła na przedział (0,1/2). Weźmy teraz dowolną liczbę x £ (0,1/2). Wówczas z powyższego, (2) i własności 1.19-5 mamy

x    oo ^x

f (7r ctg 7rt — (1 /£)) dt — J2 [ (2t/(t²-v²))dt.

n    V=\ {

0 0 Stąd po prostych rachunkach dostajemy

.2

Log

sin irx

7CX

= ^Los (¹ - — ^dla x g (°> V²) •

l/=l

Z zadania 9.3.2 dostajemy

sin 7r:r 7TO:

-n

dla x £ (0,1/2)

co daje prawdziwość wzoru (*).