DSC07314

50

Wielomiany

Rozwiązanie

a) Ponieważ mianownik rozważanej Funkcji wymiernej ma następujący rozkład na zespolone czynniki nierazkladalne

z^J + 9 =;(? - 3>)(z + 3i),

więc szukany rozkład na zespolone ułamki proste ma postać

iz+9 z¹+9

ra + lfsi’ ^{edżie AB6C}

Po sprowadzeniu prawej strony równości do wspólnego mianownika otrzymamy iz + 9 = d(z+3i) + B(z - 3i),

stąd

iz + S = {A + B)z+3(A-B)i.

Ponieważ ostatnia równość jest prawdziwa dla każdego z 6 C, więc

S f A -PSB ⁼ i_t

\ 3i(A-B) =9.

Rozwiązaniem tego układu jest para A = —i, B = 2i. Szukany rozkład na zespolone, ułamki proste ma zatem postać

iz + 9_ -i ,2t

z^J +9 ż-3i z + 3i'

b) Ponieważ mianownik rozważanej funkcji wymiernej ma następujący rozkład za zespolone czynniki nierozkładalne

(z- 1)(z¹ +1) = (z- l)(f-*)(* + *).

więc szukany rozkład na zespolone ułamki proste ma postać

g-t-3___A_ B -C.

(z-l)(z^J + l) z-l z-i z + t’

gdzie A.B.C € C. Po sprowadzeniu prawej strony równości do wspólnego mianownika, otrzymamy

z + 3 = A(z - i)(z + i) + B(z - l)(z + i) + C7(z - l)(z — i).

Podstawiając w otrzymanej równości kolejne pierwiastki mianownika funkcji wymiernej, tj. liczby l,i oraz -i, otrzymamy układ równać

4    = d(l-i)(l+i),

3 + i= B(i -1)2«, 3-i = C(-i - l)(-2i).

Rozwiązaniem tego układu równać jest trójka liczb A = 2, B Szukany rozkład na zespolone ułamki proste ma zatem postać

Przykłady

51

c) Ponieważ mianownik rozważanej funkcji wymiernej ma następujący rozkład na zespolone czynniki nierozkładalne

z(z? + 4)^a=_S(z—2i)¹(*+2i)^łI

więc szukany rozkład na zespolone ułamki proste ma postać

2*⁴+8z^a + 32 A B C # I B _ (₌a _{+ 4})3 z z-2t⁺(=-2i)»    z + 2» (s + 2i)*’

gdzie A,B,C,D,E 6 C. Po sprowadzeniu prawej strony ostatniej równości do wspólnego mianownika otrzymamy

2z⁴ + 8ż^a + 32 = A[z — 2i)^a(z + 2t)^a + Bz(z — 2t)(z + 2t)^a + Cz(z+2i)^a +Dz(z - 20* (z + 20 + Ez(z - 2i)⁷.

Stąd

2z⁴ + 8z^a + 32 = (A -I- B + D)z* + (2Bi+C - 2Di + E)zⁱ

+(8A + 4 B+ 4 Ci + 4 D- AEi)z* + (8 Bi -AC- 8 Di - AE)z + 16A

dla każdego z 6 C. Korzystając teraz z faktu, że dwa wielomiany są równe, gdy ich stopnie są jednakowe i współczynniki stojące przy jednakowych potęgach zmiennej z są sobie równe, otrzymamy układ równań

A + B + D = 2,

2iS + C- 2iD+ E - 0,

.    8.4 + AB + AiC +4D - AiE = 8,

SiB - AC - 8iD - 4 E = 0, fTOBA    ’^r'='^;32i

Rozwiązaniem tego układu jest piątka liczb A = 2, B = 0, C — i, D — 0, E — —i. Szukany rozkład na zespolone ułamki proste ma zatem postać

2z⁴+8z^a + 32 _ 2 , i , -i z^+A?    20* (z + ?0³ ‘

• Przykład 2.16

Podane rzeczywiste funkcje wymierne właściwe rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste:

V_2    ..    4    .

(x-l)(s-2)(a:-3)'    ¹    x³-x*’

H 2x+l    ,    x*+3 ,

^} xMx* + ij^7:    (*-ł-3)*oo*

Rozwiązanie

a) Ponieważ mianownik rozważanej funkcji wymiernej jest już rozłożony na iloczyn nie-rozkladałnych czynników rzeczywistych, więc rozkład tej funkcji na rzeczywiste ułamki proste ma postać

2    - A- ₊ _g_ ₊ -g-

(x — l)(x — 2)(x —3) x-l x — 2 x —3

3^ + e

0

(x² + l)(x³ + 4)’

m

(x^J+D

2 •

gdzie A,B,C e R.