52 Wielomiany
Po pomnożeniu obu stron powyższej równości przez mianownik funkcji wymiernej otrzy. mamy tożsamość
2 = A(x — 2)(x - 3) + B(x - 1)(* - 3) + £7(x - 1)(* - 2)
dla każdego x t K. Wstawiając do tej tożsamości kolejno pierwiastki mianownika, tj. liczby x = 1, x = 2, i = 3 otrzymamy układ równań
f 2 = 2/4.
[ 2 = 2 C.
Roziviazaniem tego układu jest trójka liczb A = l, B = —2, £7=1. Szukany rozkład m ułamki proste ma zatem postać
\__ — --i- ——i--i—.
b) Mianownik rozważanej funkcji wymiernej ma następujący rozkład na rzeczywiste czynniki nieroskladalne
Rozkład tej funkcji na rzeczywiste ułamki proste ma zatem postać
x — 1 x+ 1
, gdzie A, B, C, D, E e R.
Po pomnożeniu obu stron tej równości przez mianownik funkcji wymiernej otrzymamy tożsamość
—4 = Ar3 (x3 - l) + Bx (x3 - 1) + £7 (x2 - l) + Dx3 (* + !)+ Ex3{x - l)
dla każdego x € R. Stąd
Korzystając teraz z faktu, że dwa wielomiany są równe, gdy ich stopnie są jednakowe i współczynniki stojące przy jednakowych potęgach zmiennej x są sobie równe, otrzymamy
A + |
D + |
E = |
0, |
B + |
D - |
E = |
o. |
-A + C |
= |
0. | |
-B |
2= |
0, | |
. J- £7 |
2= |
-4. |
Rozwiązaniem tego układu równań jest piątka liczb A = 4, B = 0, £7 = 4. D = —2, E -—2. Szukany rozkład na ułamki proste ma zatem postać
układ równań
X4 — X* X ^ X* X — 1 X + 1 '
c) Ponieważ mianownik rozważanej funkcji wymiernej jest już rozłożony na iloczyn nie-rozkładalnych czynników rzeczywistych, więc rozkład tej funkcji na rzeczywiste ułamki proste ma postać
3x* +6 Ax+B , Cx + D
(xa + I) (xa + 4) * x»+l +
gdzie A,B,C,D € R.
53
Po pomnożeniu obu stron tej równości przez (z3 + 1) (z3 +4) otrzymamy równość 3x3 + 6 = {Ax + B) (z3 + 4) + (Cx + D) (z3 +l)
prawdziwą dla każdego z 6 C. Podstawiając w tej równości po jednym pierwiastku zespolonym każdego z wielomianów z3 +1 oraz z3 -f 4, tj. liczby i oraz 2i, otrzymamy układ równań ze współczynnikami zespolonymi i rzeczywistymi niewiadomymi
| 6—3i 1 (/łi + B).3,
\ 6 - 24i = (2Ct + D) ■ (-3),
Układ len jest równoważny układowi o współczynnikach rzeczywistych
3 B I 6,
3A g -3,
' -3D= 6,
-6C = -24.
Rozwiązaniem tego układu jest czwórką liczb A = —1, B = 2, C = 4, D = —2. Szukany rozkład na ułamki proste ma zatem postać
(z3+ !)(*»+4) z3 + l + z3 4-4'
d) Rozkład na ułamki proste rozważanej funkcji wymiernej ma postać
2x-fl
x3(x34-l)3
A
x
B Cx + D Ex+F
x3 x- + 1. (x34-l)3’
gdzie A,B,C,D,E,Fe R.
W tym przykładzie nieznane współczynniki A,B,...,F znajdziemy dokonując kilku przekształceń algebraicznych. Mamy
2x +1 z3 (z3 + l)3
(2z +1) • (2x + l)
(l4-z3)-x3 z3 (z3 -l-1)3 (l+x3)-za z3 (z3 -f- 1)
(2z -I-1) 1
z3 (z? +1)
(x3 + l)3
= (2z +1)
_1_^ _ __1_ Z3 + 1 “ (z3 + l)3
2 + _l 2x4-1 2x4-1
* T z3 “ z3 4-1 (x3 +1)3'
e) W tym przykładzie obliczenia nieznanych współczynników rozkładu można znacznie uprościć dokonując podstawienia y = x 4-3. Wtedy mamy
z3 4-3 _ (y-3)34-3_j/3 -9i/a4-27y-24_ 1 _g 27 -24
(z 4- 3)100 V100 m yOT + ps + +-UST
-JŁ—.y -9l -• IH| -24
" (z 4- 3)B7 (z 4- 3)B® ł (z4-3)» + (T+3)«oo-
f) Rozkład na ułamki proste uzyskamy wykonując kilka przekształceń algebraicznych
z
x* (x34-x) — z _ x(xa4-l) — x