DSC07315

52 Wielomiany

Po pomnożeniu obu stron powyższej równości przez mianownik funkcji wymiernej otrzy. mamy tożsamość

2 = A(x — 2)(x - 3) + B(x - 1)(* - 3) + £7(x - 1)(* - 2)

dla każdego x t K. Wstawiając do tej tożsamości kolejno pierwiastki mianownika, tj. liczby x = 1, x = 2, i = 3 otrzymamy układ równań

f 2 = 2/4.

{ 2 = —B,

[ 2 = 2 C.

Roziviazaniem tego układu jest trójka liczb A = l, B = —2, £7=1. Szukany rozkład m ułamki proste ma zatem postać

\__ — --i- ——i--i—.

(x - l)(* - 2)(x -3) x — 1 x — 2 x — 3

b) Mianownik rozważanej funkcji wymiernej ma następujący rozkład na rzeczywiste czynniki nieroskladalne

*³-x⁹=x³(l-x)(l+x).

Rozkład tej funkcji na rzeczywiste ułamki proste ma zatem postać

x»-x^J

D

x — 1 x+ 1

, gdzie A, B, C, D, E e R.

Po pomnożeniu obu stron tej równości przez mianownik funkcji wymiernej otrzymamy tożsamość

—4 = Ar³ (x³ - l) + Bx (x³ - 1) + £7 (x² - l) + Dx³ (* + !)+ Ex³{x - l)

dla każdego x € R. Stąd

-4 = {A + D + E)x* + (B+D- E)x³ + (-.4 +£7)x³ -Bx-C.

Korzystając teraz z faktu, że dwa wielomiany są równe, gdy ich stopnie są jednakowe i współczynniki stojące przy jednakowych potęgach zmiennej x są sobie równe, otrzymamy

A +	D +	E =	0,
B +	D -	E =	o.
-A + C		=	0.
-B		2=	0,
. J- £7		2=	-4.

Rozwiązaniem tego układu równań jest piątka liczb A = 4, B = 0, £7 = 4. D = —2, E -—2. Szukany rozkład na ułamki proste ma zatem postać

układ równań

X⁴ — X* X ^ X* X — 1 X + 1 '

c) Ponieważ mianownik rozważanej funkcji wymiernej jest już rozłożony na iloczyn nie-rozkładalnych czynników rzeczywistych, więc rozkład tej funkcji na rzeczywiste ułamki proste ma postać

3x* +6    Ax+B , Cx + D

(x^a + I) (x^a + 4) * x»+l ⁺

x³ + 4 '

gdzie A,B,C,D € R.

Przykłady

53

Po pomnożeniu obu stron tej równości przez (z³ + 1) (z³ +4) otrzymamy równość 3x³ + 6 = {Ax + B) (z³ + 4) + (Cx + D) (z³ +l)

prawdziwą dla każdego z 6 C. Podstawiając w tej równości po jednym pierwiastku zespolonym każdego z wielomianów z³ +1 oraz z³ -f 4, tj. liczby i oraz 2i, otrzymamy układ równań ze współczynnikami zespolonymi i rzeczywistymi niewiadomymi

| 6—3i 1 (/łi + B).3,

\ 6 - 24i = (2Ct + D) ■ (-3),

Układ len jest równoważny układowi o współczynnikach rzeczywistych

3 B I 6,

3A g -3,

' -3D=    6,

-6C = -24.

Rozwiązaniem tego układu jest czwórką liczb A = —1, B = 2, C = 4, D = —2. Szukany rozkład na ułamki proste ma zatem postać

3z* + 6    _ —z + 2 4z — 2

(z³+ !)(*»+4) z³ + l ⁺ z³ 4-4'

d) Rozkład na ułamki proste rozważanej funkcji wymiernej ma postać

2x-fl

x³(x³4-l)³

A

x

B Cx + D    Ex+F

x³    x- + 1.    (x³4-l)³’

gdzie A,B,C,D,E,Fe R.

W tym przykładzie nieznane współczynniki A,B,...,F znajdziemy dokonując kilku przekształceń algebraicznych. Mamy

2x +1 z³ (z³ + l)³

(2z +1) • (2x + l)

(l4-z³)-x³ z³ (z³ -l-1)³ (l+x³)-z^a z³ (z³ -f- 1)

(2z -I-1) 1

z³ (z? +1)

1

(x^a + l)³

(x³ + l)³

= (2z +1)

_1_^ _ __1_ Z³ + 1 “ (z³ + l)³

2 ₊ _l 2x4-1    2x4-1

* ^T z³ “ z³ 4-1    (x³ +1)³'

e) W tym przykładzie obliczenia nieznanych współczynników rozkładu można znacznie uprościć dokonując podstawienia y = x 4-3. Wtedy mamy

z³ 4-3    _ (y-3)³4-3_j/³ -9i/^a4-27y-24_ 1 _g 27    -24

(z 4- 3)¹⁰⁰    V¹⁰⁰    m    yOT + ps +    +-UST

-JŁ—.y    -9_l -• IH|    -24

" (z 4- 3)^B7    (z 4- 3)^B® ^ł (z4-3)» ⁺ (T+3)«oo-

f) Rozkład na ułamki proste uzyskamy wykonując kilka przekształceń algebraicznych

z

_x* (x³4-x) — z _ x(x^a4-l) — x