4516

58

RBiniąiaab

a) Poairwu mianownik roiwuu^j funkcji wymiernej jest już rozłożony na iloczyn ni*, rozkładalnych czynników rzeczywistych, więc rozkład tej funkcji na rzeczywiste irtjfnki proste ma postać

B

j + _x ”"₂ ⁺ r~'i’    A_tB,ce a.

Po pomnożeniu oba stron powyższej równości przez mianownik funkcji wymiernej otrry. mamy tożsamość

2 w A(x - 2)(x -3) + Zf(* - l)(r - 3) + C(x - l)(x - 2)

dla każdego x € Ii- Wstawiając do tej tożsamości kolejno pierwiastki mianownika, tj. liczby x=l. x = 2. x = 3 otrzymamy układ równań

{

2 = 2.4. 2 = —B, 2 = 2C.

Raz wiązaniem tego układu jest trójka liczb -4 = I, fl = —2. Cal. Szukany rozkład na ułamki proste ma zatem postać

2 1 . —2    1

(x-1K*-2)(x-3)

b) Mianownik rozważanej funkcji wymiernej ma następujący rozkład na rzeczywiste czynniki nieroskladalac

**-«•= l³(l - x)(l + *).

Rozkład tej funkcji aa rzeczywiste ułamki proste ma zatem postać

—4 + 4

X x^a X³ X — 1

X - 3

Bi — 2 s    1

, gdzie A, D,C, D, E € B.

■■p— x +

Po pomnożeniu obu stron tej równości przez mianownik funkcji wymiernej otrzymamy tożsamość

-4 = Ax* (x* - l) -4 Bx (x³ - l) + C (x^a - l) + Dx³ (x -ł- 1) -ł- Ex³(x - 1) dla każdego r € ił Stąd

_4 = (/ł+ D + £T)x⁴ + (B + D - E)x³ + i-A + C)x^a - Br - C.

Korzystając teraz z faktu, że dwa wielomiany są równe, gdy ich stopnic są jednakowe i współczynniki stojące przy jednakowych potęgach zmiennej z są sobie równe, otrzymamy iklad równań

+ D + E =    0,

+/)-£= 0,

■A + C    =    0,

-ir    - o,

»C    =5 —4. I_

Rozwiązaniem tego układu równań jest piątka liczb A = 4, 0 = O, C7 =s 4, D = “ —

—2. Szukany rozkład na ułamki proste ma zatem postać

—4

- X³

I4 + 4-

-2 ₊ -2

X — 1

+ 1

Piąty tydzień - przykłady

69

e) PowewM mianownik rozważanej funkcji wymiernej jest już. rozłożony na iloczyn nic-rozkładalnych czynników rzoczywiatych, więc rozkład lej funkcji nn rzeczywiste ułamki proste ma postać

3** + 6

t** + l)(z^a+4)    **+l • x» +4

Po pomnożeniu obu u tron tej równości przez (z^J i- l) (z* + \) otrzymamy zównoóć

3x* + (i m\Ax -P B) (x^a + 4) + (Ci + D) (z* + I)

prawdziwą dla każdego i 6 C- Podstawiając w tej równości po jednym pierwiastku zespolonym każdego / wielomianów x⁷ + 1 oraz t‘ + 4, tj. liczby i oraz 2i, otrzymamy układ równań ze współczynnikami zespolonymi i rzeczywistymi niewiadomymi

f 6-3i = (Ai+ /J)3.

\ 6 - 241 = (2Ci + O) • (-3).

Układ ten jest równoważny układowi o współczynnikach rzeczywistych

3 B =    6,

3 A = -3,

-30 =    6,

—6C a -24.

Rozwiązaniem tego układu jest czwórką liczb A = —1, U 2. C -- 1. D ■ —2. Szukany rozkład na ułamki proste ma zatem postać

3z³ + 6    -g + 2 4r -2

(z² + 1) (x? + 4) “ x^a + 1 ⁺ *² + 4’ d) Rozkład na ułamki proste rozważanej funkcji wymiernej ma postać

Ez + F

2r +1 Ą O.; £x + O '«*(**+l)^ł * *    *^a + *    (** + 1)

fi gdzie A, B,C, D, E. F € R-

W tym przykładzie nieznane współczynniki A,B,...,F znajdziemy dokonując kilku przekształceń algebraicznych. Mamy

f 1    1    1    1    2    1 2r+ 1 2r +1

* (2* + l) [_xa *a ₊ i (_Xz₊,)²J x ⁺ *² " xHl " (^Tl?

«) W tym przykładzie obliczenia nieznanych współczynników rozkładu można znacznie uprościć dokonując podstawienia y = r + 3. Wtedy mamy

»³ - 9y³ 4- 27y - 24 _ 1    -9    27    -24

ylOO    y">? ⁺ y»* ⁺ |W ^

** + 3    _ (y - 3)^a + 3

(x + 3)^,0° “    jr^,0°

1    -9    27    -24

~ (i + 3)»* ⁺ (x t 3)*» ⁺ (x + 3)** ^ (i + 3)^lo°