MAT17

17

Funkcja podcałkowa jest nieparzysta względem na cos.y, więc podstawiamy sin.Y = / cosxdx = dl.

= jV(l -t²)dt =    =

4- sin³.v - 4- sin⁵*.

3.

C sin²* cos.y ,j_x _ f sin².vcos-^>.Y (_dx_\ _ f sin-.v(c< J sin.Y +cos.y ' J sin.Y + cos.y V cos².y z J sin.Ycos.Y

(-sin.v)²(-cos.v)

y?(-sin.Y,-cos.y) =

sin².Y(cos².Y)² d_x

+ COS-.Y COS-.Y

_ -sin².YCOs.Y _ sin².ycos.y _ jx_s\_nx C0SY) -(sin.y + cos.y)    -(sin.Y + cos.y) sin* + cos*

i dlatego podstawiamy tgx = t => —dx = dl

COS“.Y

r+1 ⁺ ;⁵+l

-dt = -j f + I- f —{—[rrdt - 4- J -y—\-dt =

4 J / + 1    2 J (t² + l)²    4 J i² + l

= ln|/ + 11 + y

(/+l)(/² + l)

I f 2 tdt	f dt	1	1	2 tdt	f dt
(/^2 + l)^2	J r^2 + 1	4	2 J	(/^2 + l)^2	J t^2+ 1

dt

»l-l

+

2/7-3 f_

2/7-2 J (,i

Stosujemy wzór rekurencyjny: J —-

dt

(t² + 1)" ^ln " ² {t² + 1)

(/² + l)

n-l '

- I^ln|'^+I1-ł[ł7^t7 ^+ln('²+l)+i^arctg,=

1 /+ 1

4 t² + 1

₌ X,_n4±4i

⁴ J?TT

-L ¹ +    = 4" ln|sin.Y + cos*| - -y cos.Y(sin.Y + cos.y) + C.

4    4

Zadania

Obliczyć całki

1.    | sin.Y sin 3xdx.

2.    |cos.ycos3.ycos5ay/y.

3.    [ &&.dx,

j snr.r

4.    [ sin³,Ycos².Y</.Y.

dx_

⁵-1 ⁶-1

7    f —    ——

J sin.tcoslr ’ g | sin^:.Y cos.y

J sin.Y+cos.T *

9.    f - -Ą * •

J >cos*jr+9sin*.T

10.    [ . ,* ₄ ■,

J sin".vcos .y

11. f

J 2-r3l£t

12 f-^-

J sinXv-2sin*

5.3.2. Podstawienie uniwersalne: tg-*- = t

Całkę postaci J R(smx.cosx)dx można zawsze sprowadzić do całki z funkcji wymiernej, stosując podstawienie uniwersalne tg-f- = t (=> y =arctg/

sinArcos⁵.* ’

cin^Y

Vrf-v.

dx

' - y-yy). W tym przypadku. sin.Y = yy

COS.Y = -U

Przykład

Opracował: Marian Malec