226 (24)

452 16. Funkcje charakteryzujące obwody elektryczne

bowiem funkcja podcałkowa jest parzysta względem zmiennej tu i całkuje się ■ w przedziale symetrycznym. W związku z powyższym otrzymujemy

. Ao)₀ “ U (tu) cos tut — P(tu) sin tut

r_s(t) =-J-2-2-^dw

K ^J0    (Oq tU²

U&119)

+ — [t/ (tu₀) sin tu₀1 + F(tu₀) cos tu₀ f].

Wzór ten jest słuszny zarówno dla f > 0, jak i t < 0, jednakże dla f < 0 otrzymuje się r,(t) = 0, wobec tego

/ltu₀¹ Ł/(tu) cos tut - K(tu) sin tut . 4_rTI/ , .    .

-I-y-2-dtu + —[Ł/(tu₀) sin tu₀t+ K(tu₀)costu₀t] = 0

71 q    w    2

dla / < 0. Zastępując t przez — f w tym równaniu, mamy dla t > 0:

„ 4tu₀ ? 1/(tu) cos tut + F(tu) sin tut , A_r

0 =-J-2-2--duj + — [ — (tu₀) sin to₀1 + F(tu₀) cos tu₀1]

TT o    C0₀— CO    L

(16.120)

Po dodaniu stronami równań (16.119) i (16.120), otrzymujemy

., 2zltu₀ ® (/ (tu) cos tut

r_s(t) =-- J-j-— dtu +/ł K(tu₀) cos to₀t.    (16.121)

te £ ^wo-tu

Całkę występującą w tym wyrażeniu należy traktować w sensie wartości głównej¹, ze względu na nieograniczoność funkcji podcałkowej w punkcie tu = tu₀.

W wyniku podstawienia t = 0 do zależności (16.121), mamy

2złtu₀ ¹ U (tu) ,

—^l-^-^L1da> + AV(<o₀) = Q, n o tuo tu^z

bowiem wartość początkowa rozpatrywanej odpowiedzi równa się zeru, co łatwo sprawdzić na podstawie twierdzenia granicznego z p. 12.2. Otrzymujemy stąd

K(tu₀) = -^J

2to₀    U (tu)

7C Ó tu² —tUo

dtu.

(16.122)

Odpowiedź ustalona układu o transmitancji T(s) na wymuszenie Ac‘^o‘⁰‘ wyraża się wzorem Ar(jtu₀)e^jwo', zgodnie z zależnością (16.78) dla s₀ = jtu₀. Odpowiedź ustalona omawianego układu ma postać

r_su(t) = Im [A T(jtu₀)e^j<uo'].

Podstawiając T(ja>₀) = t/(o>₀)+jF(a)₀) oraz e^JtU0' = cos co₀1 + j sin w₀ r do tego wyrażenia, otrzymujemy

r,_u(t) = /4[C/(m₀)sin<y₀t-ł- F(o)₀)coscy₀t].    (16.123)

Odpowiedź przejściową rozpatrywanego układu znajdujemy jako różnicę odpowiedzi r,U) oraz odpowiedzi ustalonej r_su(t); odpowiedź przejściowa układu na wymuszenie ,4sinaj₀r wynosi zatem

r_sp(t) =

2A(o₀1

* o

U (co) cos OJt (Oo~a>²

doz — A U (co₀) sin a>₀1.

Podstawiając do powyższego równania²

(16.124)

2<y_n ² cos u)t , sinco₀r = —- —j-rdcy,

71 i OĄ -(O²

słuszny dla co₀ > 0 oraz f > 0, otrzymujemy

_^2Av₀² [UW~ U(«„)] cos wt _J ^sp(0    J    1    ■>    da).

2 2 C0()—(O

(16.125)

Funkcja podcałkowa w tym wyrażeniu jest ciągła, gdy funkcja U(co) jest różniczkowana.

Wzór (16.125) pozwala obliczyć odpowiedź przejściową układu na wymuszenie .4sin<o₀r, gdy znana jest część rzeczywista transmitancji widmowej jako funkcja zmiennej co. Odpowiedź ustaloną układu oblicza się w prosty sposób na podstawie wzoru (16.123). Odpowiedź układu na wymuszenie zlsinto₀t można natomiast wyznaczyć jako sumę odpowiedzi przejściowej i ustalonej.

I6.12.3. Odpowiedź układu na wymuszenie złcosco₀r Na podstawie zależności

Ą

A cos co₀1 = — (e^j<uo' + e “ ^j“°'),

gdzie A jest liczbą rzeczywistą, łatwo wykazać, że odpowiedź r_f(f) układu na wymuszenie A cos co₀1 wyraża się wzorem

r_c(t) = ^[r_wl(t) + r_w2(tY\,    (16.126)

gdzie r_M.,(r) oraz r_w2(t) określają wyrażenia (16.114) i (I6.l 15). Po podstawieniu tych wyrażeń do (16.126), znajdujemy

A f ⁺/ «;TGcu)e^j‘^D' , ti .    .

MO = =-<j f —T-^d® + ^[7’Ocoo)e^w + T(-jo>₀)e"^,"°1>,

Z TT    _y (Oq — (O    Z    J

1

Wartość główną całki niewłaściwej funkcji /(x), nieograniczonej w punkcie c, określa się wzorem

J/(x)dx = lim [ J /(x)dx + f /(x)dxj.

2

Gradśtcin I.S. i Ryżik I.M. Tablicy intef/raloi'. summ. riadov i proizvetlenii. Wyd. 4. Moskva: G1TTL

196.4; W/.ór 3.723.9.