221 (23)

442 16. Funkcje charakteryzujące obwody elektryczne

rzeczywiste i części urojone. Wobec tego z porównania wyrażeń (16.92) i (16.93) wynika

U (oj) = A (to) cos ę(oj),    V(oj) = /4(a>)sin (p(oj),    (16.94)

;i stąd

A M = _v/l/²M+ V²(oj).    (16.95)

Podstawiając s = jru do wzoru (16.21) i biorąc pod uwagę, że w rozpatrywanym przypadku s* = —jat, otrzymujemy w odniesieniu do zależności (16.91)

T(-jaj) = zl((u)e“^j,,(<0,,    (16.96)

bowiem przy zmianie znaku argumentu liczby zespolonej otrzymuje się liczbę zespoloną sprzężoną. Zastępując natomiast oj symbolem —w w wyrażeniu (16.91),

mamy

T(-joj) = AI-oj)^-^.    (16.97)

Dwie liczby zespolone są sobie równe, gdy mają odpowiednio równe zarówno moduły, jak i argumenty. Wskutek tego z porównania wyrażeń (16.96) i (16.97) otrzymuje się

A( — oj) = A (co),    (p( — aj)=—(p(oj).    (16.98)

Na podstawie zależności (16.94) mamy

U( — oj) = A( — oj)cos(p( — oj),    V( — oj) = A( — oj) sin <p( — cu),

a stąd przy wykorzystaniu wzorów (16.98) znajdujemy

U( — oj) = /ł(a>)cos<p(oj), V( — oj) = — A (oj) sin (p(oj),

czyli

U(-oj) = U (oj), V(-oj) = - V(oj).    (16.99)

Na podstawie wzorów (16.98) oraz (16.99) stwierdzamy, że amplituda oraz część rzeczywista transmitancji widmowej są funkcjami parzystymi, natomiast faza oraz część urojona transmitancji widmowej są funkcjami nieparzystymi zmiennej oj.

Charakterystykami: rzeczywistą i urojoną układu nazywamy graficzne przedstawienie odpowiednio części rzeczywistej i urojonej transmitancji widmowej w funkcji pulsacji.

Podobnie, charakterystykami: amplitudową i fazową układu nazywamy odpowiednio wykresy amplitudy i fazy transmitancji widmowej w funkcji pulsacji. Charakterystyki amplitudowa i fazowa przedstawiane są zazwyczaj we współrzędnych logarytmicznych. Obie te charakterystyki znajdują często zastosowanie przy analizie układów liniowych.

16.10.2. Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Każdej wartości co odpowiada określona wartość transmitancji widmowej T(jco) wyrażającej się liczbą zespoloną. Z tego powodu każdej wartości co odpowiada

określony punkt M na płaszczyźnie zmiennej zespolonej, będący końcem wektora

------

OM , którego początek O znajduje się w początku układu współrzędnych. Gdy

• , • , . -►

pulsacja co zmienia się w sposób ciągły, wówczas koniec wektora OM opisuje

krzywą na płaszczyźnie zmiennej zespolonej, zwaną charakterystyką amplitudo-wo-fazową lub biegunową układu.

Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu jest więc krzywą, jaką zakreśla koniec wektora przedstawiającego transmitancję widmową na płaszczyźnie zmiennej zespolonej, przy ciągłej zmianie pulsacji co. Na charakterystyce amplitudowo-fazowej oznacza się punkty odpowiadające określonym wartościom pulsacji. Charakterystyka amplitudowo-fazowa odgrywa dużą rolę przy analizie układów liniowych.

W celu graficznego przedstawienia transmitancji widmowej można sporządzić dwie pary wykresów, a mianowicie charakterystyki: amplitudową i fazową, bądź też charakterystyki: rzeczywistą i urojoną układu. Natomiast zastosowanie charakterystyki amplitudowo-fazowej umożliwia przedstawienie graficzne transmitancji widmowej za pomocą tylko jednego wykresu.

Podstawiając s=jco oraz s* = —jco do zależności (16.21) otrzymujemy

T(-}co)=T*(}co),    .    (16.100)

co oznacza, że wartości transmitancji widmowej dla co < 0 są sprzężone z wartościami dla oj > 0. Biorąc pod uwagę, że punkt s* płaszczyzny zmiennej zespolonej jest odbiciem zwierciadlanym punktu s względem osi rzeczywistej, stwierdzamy, że gałąź charakterystyki amplitudowo-fazowej dla co < 0 jest odbiciem zwierciadlanym gałęzi tej charakterystyki dla co > 0 względem osi rzeczywistej. Obie gałęzie charakterystyki amplitudowo-fazowej, zarówno dla co < 0, jak i dla a) > 0, tworzą całkowitą charakterystykę amplitudowo-fazową. Przedstawia ona transmitancję widmową przy ciągłej zmianie pulsacji co w granicach od -cc do +00. Na charakterystyce

^Rys. 16.21. Przykład charakterystyki amplitudo-

"'o-fazowej