225 (21)

450 16. Funkcje charakteryzujące obwody elektryczne

Wzór (16.111) jest słuszny, gdy granica

7(oc) = lim T(s)    (16.112)

s-*x

ma wartość skończoną.

Zakładamy, podobnie jak w p. 16.11.1, że wszystkie bieguny transmitancji 7(s) znajdują się po lewej stronie osi urojonej na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. W tych warunkach bieguny funkcji 7(s)/(s— jw₀) położone są również po lewej stronie osi urojonej, z wyjątkiem bieguna jednokrotnego s — jtu₀ położonego na osi urojonej. Wobec tego jako drogę całkowania w zależności (16.111) można przyjąć krzywą przedstawioną na rys. 16.27, która zawiera dwa odcinki osi urojonej oraz półokrąg C_p o promieniu q, okrążający biegun s=jco₀.

Rys. 16.27. Droga całkowania na płaszczyźnie    Rys. 16.28. Półokrąg C_e

zmiennej zespolonej

Wyrażenie (16.111) można przedstawić w postaci

fwl(0 =

1

2nj

0)0 ~Q

I

— X

7(ja>) e^J<0' co — O)₀

^da>+ J

T(s) e^s' s-jw₀

+ X

ds+ j

o)o⁺e

co—co₀

(16.113)

bowiem s = jco w punktach osi urojonej. W punktach półokręgu C_e mamy (ry^S-16.28); s —jco₀ = (?e^je, d.s = )ge^ie dO, przy czym — tt/2 < 6 < + rc/2, wobec tego ³ q->0 otrzymujemy

j —ds=j J T(jru₀ + ge^j9)exp[(jw₀ + £?e^je)r]dfl-‘JTt7(j(y₀)e^J"⁰'-C_e^S~ J^CU0    -T

Przechodząc do granicy 0->-O w wyrażeniu (16.113), mamy

Odpowiedź r_w2(t) rozpatrywanego układu na wymuszenie e ^j"'^u' wyznacza się bezpośrednio ze wzoru (16.114), zastępując cu₀ przez — to₀:

(16.115)

1 ⁺® T(jco)e^jw*    1

r_w2(t) = ^ |    -dco + -r(—jOe-J"⁰'.

2rtJ - a, ft) + £d₀    2

16.12.2. Odpowiedź układu na wymuszenie 4sinco₀t Przy wykorzystaniu wzoru

A sin w₀1 = — (e^j<“⁰¹ — e ^j“⁰'),

gdzie A jest liczbą rzeczywistą, łatwo wykazać, że odpowiedź r_s(t) układu na wymuszenie 4 sin to₀f można przedstawić w postaci

r,(f) = ~[r_wi(t)-^rw2{t)'],    (16.116)

przy czym r_H,,(f) oraz r_w2(i) podają zależności (16.114) i (16.115). Podstawiając te zależności do wzoru (16.116), mamy

f 1 ⁺®T( imle^j“'    1    )

r,(t) = Ao)₀\— [ H -₂-doi + — [rGcu₀)_e^j<aol-r(-jm₀)e-^J^]^ (16.117) [2n coo-o/ j4cu₀    J

Do otrzymanego wzoru podstawiamy (por. p. 16.10.1) T{]co) = U(u>)+]V((o\ T{ -joj) =    jK(co) oraz e^j“' = cos tut + j sin tur i po wykonaniu elementarnych

przekształceń znajdujemy

f 1 ⁺* U(a>)cos (ot— P(tu) sin tur ,

r_s(t) = A(oJ— J -2-L-j-y-dw +

i ^J

⁺Łl

dco +

V(co) cos o)l + U (m) sin cot

2 2 (Oq — (D

[C/(ru₀)sinoj₀f + K(w₀)cosco₀r] i. (16.118) 2w₀    )

Łatwo sprawdzić, że druga całka po prawej stronie tego równania równa się zeru, bowiem funkcja podcałkowa jest funkcją nieparzystą zmiennej o» i całkuje się ją w symetrycznym przedziale. Natomiast pierwsza całka po prawej stronie rówmania (16.118) jest równa

. r U (<n) cos iot — K((y)sin ot .

2 f —----=-----dw.