224 (26)

448 16. Funkcje charakteryzujące obwody elektryczne

Po podstawieniu — t na miejsce t, znajdujemy

1 ® - U (a)) sin cot + V(co) cos (ot    ,l_{Tm n} _ _A

co

-j-_:-d<y + -T(0) = 0, t > 0,

a stąd 1 m/sw 1 r U (co) sin (ot— V(co) cos ot ,

co

- T(0) = - j-dco.

Po podstawieniu tego wyrażenia do zależności (16.103), otrzymujemy wzór całkowy dla odpowiedzi jednostkowej układu:

..    2 ? [/(co)sin wt

r_t (0 = -f-dco.

co

(16.104)

Otrzymane wyrażenie pozwala wyznaczyć odpowiedź jednostkową układu, gdy znana jest część rzeczywista transmitancji widmowej jako funkcja pulsacji.

Wartość początkową r _x (0⁺) odpowiedzi jednostkowej wyznaczamy na podstawie twierdzenia granicznego z p. 12.2; otrzymujemy:

(16.105)

T(ś\

r₁(0⁺) = lim— s= T(oo).

rr

Odpowiedź układu na wymuszenie stałe (skokowe) określone wzorem (16.66) jest oczywiście równe iloczynowi odpowiedzi jednostkowej i współczynnika A, czyli

. ,    2 A * U (co) sin cot ,

^rAM = — J -dat,

a>

(16.106)

przy czym r_/1(0⁺) = 4T(oo), zgodnie ze wzorem (16.105).

16.11.2. Odpowiedź impulsowa

Obecnie wyprowadzimy wzór całkowy dla odpowiedzi impulsowej układu o transmitancji T(s). Przyjmujemy założenia następujące:

(1)    Wszystkie bieguny transmitancji T(s) mają ujemne części rzeczywiste, czyli są położone po lewej stronie osi urojonej,

(2)    lim T(s) = T(oo) = 0.

s~* oo

Ze względu na założenie (1), funkcja T(s) jest holomorficzna w półpłaszczyźnie Res^O, wobec tego na podstawie wzoru (12.2), przy uwzględnieniu zależności (16.56), otrzymuje się gdzie drogą całkowania jest oś urojona. Podstawiamy s = jcu do wzoru (16.107) i po wykonaniu prostych przekształceń, znajdujemy

J + 00

^ra(^f) = 2^ I WM cos (Dt - V(co) sin tor] dco +

J +00

+jr~ J [U(co)sincot + V(<x>)cosa>r] dco.

- (JO

Funkcja podcałkowa w pierwszej całce jest nieparzysta względem co i całkuje się ją w przedziale symetrycznym, więc ta całka jest równa zeru. Natomiast funkcja podcałkowa w drugiej całce jest parzysta i również całkuje się ją w przedziale symetrycznym, co pozwala skrócić przedział całkowania do (0, oo) i wynik pomnożyć przez 2, wobec tego

1 ^x

r^t) = - j [U(co)coson — V(co) sin on] dco.    (16.108)

⁷¹ o

Biorąc pod uwagę, że r_ó(t) = 0 dla t < 0 i zastępując t przez — t, mamy

1 *

0 = - j [ (7 (a») cos rot + |/(co) sin cot] dco.    (16.109)

^K o

Po dodaniu oraz po odjęciu stronami równań (16.108) i (16.109), otrzymuje się

poszukiwany wzór:

2    2 °°

r_a(t) = - f U (co) cos (0/ dco = —f P(co)sincotdco,    (16.11Ó)

⁷¹ o    ⁷⁷ o

przy czym t > 0.

Całki występujące we wzorach (16.104) i (16.110) można obliczyć za pomocą metod numerycznych.

16.12. Wzory całkowe dla odpowiedzi na wymuszenie sinusoidalne

16.12.1. Zależności podstawowe

Wyprowadzimy wzór całkowy dla odpowiedzi r_wl(t) układu o transmitancji T(s) na wymuszenie wykładnicze e⁷""¹'. Przyjmując A = 1 oraz .s₀ = jco₀ we wzorze (16.76), mamy, zgodnie z zależnością (12.2):

T(s)

r_wt0) = #    —

1 ^a+r T(s)e^SI ,

f —— ds.

-S — jc/z₀ J    27ij_a_^Jjons-jco₀

(16.111)

Drzv C7vm a > a. jeżeli w półpłaszczyżnie Re.v > a funkcja T(s) jest holomorficzna.