446 16. Funkcje charakteryzujące obwody elektryczne
przy czym a > 2. jeżeli w półpłaszczyżnie Re> z funkcja T(s) jest holomorficzna. Podany wzór jest słuszny, gdy granica T(x.) — lim T(s) ma wartość skończoną.
Zakładamy, że wszystkie bieguny transmitancji T(s) znajdują się po lewej stronie osi urojonej na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Wobec tego bieguny funkcji T(s)/s znajdują się również po lewej stronie osi urojonej, a jedynym wyjątkiem może być biegun jednokrotny s = 0 znajdujący się w początku układu współrzędnych. W tych warunkach jako drogę całkowania w wyrażeniu (16.101) można przyjąć krzywą złożoną z dwóch odcinków osi urojonej oraz pólokręgu Cu o promieniu (> i środku
Im
©
Se
Rys. 16.25. Droga całkowania na płaszczyźnie zmiennej zespolonej
w początku układu współrzędnych (rys. 16.25). Przyjęta w ten sposób krzywa całkowania omija ewentualny biegun s = 0 funkcji T(s)/s.
Biorąc pod uwagę, że w punktach osi urojonej mamy s = jco, zależność (16.101) można przedstawić w postaci
1
2itj
(O
dw+ J
ds+ j
T(}w) ,
eJ"" dco
CO
W wyniku podstawienia Tfjco) = U((o)+}V(m) oraz eJt!" = cos euf+j sin cot, otrzymujemy po wykonaniu elementarnych przekształceń
. 1 U (oj) cos cot — Ffcojsinco/ ,
/■jf) = — j--------dco +
2nj
(O
1 V U (oj) cos cot — V(co) sin cot ,
+ — f —-—-d 00 +
:e
CO
1 J* U (co) sin cot + V(co) cos cot t
+ — J -dco +
271 O)
1 ^ (co) sin rot + F(co) cos cof 1 f T(s)
H--I -dco-F——: I -e5'ds.
O-rr J 1 m J o
CO
Funkcja C/(co) jest parzysta, natomiast funkcja V(a>) jest nieparzysta względem co (por. p. 16.10.1). Łatwo sprawdzić, że suma pierwszych dwóch całek jest równa
zeru, bowiem funkcje podcałkowe są nieparzyste względem co. Przechodząc do granicy £>-»0, otrzymujemy
2jt-x OJ e-02Kico S
Funkcja podcałkowa w pierwszej całce jest parzysta względem co, wobec tego
+,x U (co) sin cot + V{u>) cos (ot , . “ U (co) sin cot + F(co) cos cot
o> o oj
w związku z tym mamy
1 , 1/(co) sin cot + K(co) cos cot , 1 7(s)
ri 0 = -/-^-'-dco + hm — j —— eads. (16.102)
oj ff-o 2łtJ ce 5
Im
Rys. 16.26. Półokrąg Cfi
W punktach luku Cg mamy s = gej® oraz ds = jeejfld0, przy czym ę <
^ jak na rys. 16.26, wobec tego
_ - f-est ds = — f -tt-jgejS d0 -* f dd = - 7(0)
2njcJe s 27rj_Jn Q&>° w 2n 2
?dy 0. Zgodnie z powyższym, równanie (16.102) przybiera postać
. 1 Ł/(co) sin cot + K(co) cos cot 1
r, (t) = - I---dco + - 7(0).
co
(16.103)
•lak
wiadomo, rt(t) = 0 dla t < 0, wobec tego 1 * 1/(co) sin cot + 7(co) cos cot , 1
-JJ-<to+j7t0)-0, <0.