220 (24)

440 16. Funkcje charakteryzujące obwody elektryczne

jest amplitudą odpowiedzi ustalonej układu. Z zależności (16.84) otrzymujemy

(16.85)

co oznacza, że amplituda transmitancji widmowej jest równa ilorazowi amplitud: odpowiedzi ustalonej Y_m oraz wymuszenia sinusoidalnego X_m. Na podstawie wzoru (16.83) stwierdzamy natomiast, że faza transmitancji widmowej równa się kątowi przesunięcia fazowego między odpowiedzią ustaloną a wymuszeniem sinusoidalnym.

Otrzymany rezultat pozwala wyznaczyć eksperymentalnie transmitancję widmową układu liniowego. W tym celu do wejścia układu doprowadzamy sygnał sinusoidalny o znanej amplitudzie X_m. Po wygaśnięciu zjawisk przejściowych w badanym układzie mierzymy amplitudę Y_m odpowiedzi ustalonej oraz kąt (p przesunięcia fazowego między odpowiedzią ustaloną a wymuszeniem sinusoidalnym. Transmitancję widmową oblicza się ze wzoru

T(jeo) = /e

(16.86)

wynikającego z wyrażenia (16.80) przy uwzględnieniu zależności (16.85). Pomiary wykonuje się przy określonej wartości co.

16.9.2. Wyznaczanie transmitancji widmowej na podstawie rozkładu biegunów i zer

Podstawiając s = ju> do zależności (16.33), otrzymujemy wzór dla transmitancji widmowej o postaci

* (j^)    ^    •    w •    v /•    \>

(jcu —Si)(jCO —s₂).. .(JG> —S„)

(16.87)

przy czym z_i,z₂,...,z_m są zerami, a s₁,s₂,..-,s_n — biegunami transmitancji. Amplituda transmitancji widmowej (16.87), równa modułowi tej funkcji, wynosi

_A{0J) ₌ K\}^a>-^Zl\\)⁽°-^Z2\---\}U-^Zm\

|jw-s₁||jco-s₂|...|jco-s„|

(16.88)

przy założeniu, że K > 0. Fazę transmitancji widmowej równą argumentowi tej wielkości otrzymuje się, odejmując sumę argumentów dwumianów występujących w mianowniku od sumy argumentów dwumianów zawartych w liczniku, wobec tego

przy czym

<p(o>) = I 0’_k-Y0_k,

k= 1    k=1

Ą = arg(jco-z_k),    k = 1, 2,..., m,j

Ok = arg(j<y-s*),    k = 1, 2, .... n.)

(16.89)

(16.90)

W celu obliczenia transmitancji na podstawie rozkładu jej biegunów i zer, rozpatrujemy kolejno wszystkie dwumiany typu jco — z_k oraz jcu — s_k. Obrazem graficznym dwumianu jco —z* lub jen — s_k jest wektor, którego początkiem jest punkt :_t lub s_k, a końcem — punkt jen na osi urojonej (rys. 16.20). Długości rozpatrywanych wektorów określają moduły, a kąty nachylenia tych wektorów względem

Rys. 16.20. Wyznaczanie modułów i argumentów dwumianów

osi rzeczywistej — argumenty dwumianów jco — z_k oraz jco — s_k. Po wyznaczeniu modułów i argumentów dwumianów, odpowiadających wszystkim biegunom i zerom transmitancji na podstawie znanego rozkładu biegunów i zer, obliczamy amplitudę i fazę transmitancji widmowej za pomocą wzorów (16.88) i (16.89); wartość współczynnika K musi być podana dodatkowo.

16.10. Charakterystyki częstotliwościowe

16.10.1. Zależności podstawowe

Transmitancję widmową zapisywaną dotychczas w postaci wykładniczej

T(ja)) = A((D)ei^vUa)    (16.91)

można również przedstawić w postaci algebraicznej

T(jco) = U(a))+jV(a>).    (16.92)

Funkcje l/(co) oraz V(co) nazywane są odpowiednio częścią rzeczywistą i częścią urojoną transmitancji widmowej.

Przy wykorzystaniu wzoru Eulera, wyrażenie (16.91) przybiera postać

T(jco) = A (co) [cos (p{w) + j sin <p(co)].    (16.93)

Dwie liczby zespolone są sobie równe, gdy mają równe odpowiednio części