chądzyński
3

16 2. FUNKCJE ZESPOLONE

Kładąc w (3) kolejno = 0, h\ = 0 i hi = h%, dostajemy odpowiednio |^4iJ² = .<?, (-421² = g i \ |4i + 42|² — g. Stąd |-4i|² — (4.2|² = 0 i A1A2 + A1A2 — 0. Mnożąc drugą równość przez i i dodając do pierwszej, dostajemy łatwo

(4)    [Ai + iA2){A\ + 1A2) = 0.

Z (4) i (2) mamy

fx(^a) + */y(^a) = ^{0 hlb} /*(«) ~    = 0.

Stąd i z zadań 2 i 3 wynika istnienie pochodnej /'(a) lub /(a).

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 7. Określmy funkcję f w H = C wzorem f(z) = y/\xy\. Pokazać, że

(i)    funkcja f ma pochodne /'(O) — f_y(0) = 0, czyli spełnia w punkcie 0 warunki Cauc.hy’ego-Riemanna,

(ii)    funkcja f nic ma pochodnej /'(O).

Rozwiązanie, (i). Mamy f(z) — u(x,y). Stąd

(1)    /'(0) = lim

(2)

= lim ~ = 0, t~*o t

u(0 4-1, 0) — w(0, 0)    ..    0

₌u_(o,o_t*)zy(M _ to 2 - 0.

^JyK >    t~* o

t    t

(ii). Gdyby istniała pochodna /'(0), to w myśl zadania 1 /'(0) — /£(0) = 0. To jest niemożliwe, bo

lim

/((! + »)*)-/(O)    1

(1 + i)

□

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 8. Określmy funkcję f w Q = C wzorem /(0) — 0, /(*) = a?³v//(:r⁴ Py²) dla z 0. Pokazać. że

(i)    funkcja f jest ciągła w punkcie a — 0,

(ii)    f{h)/h —* 0, gdy h —► 0 wzdłuż dowolnej prostej przechodzącej przez punkt 0,

(iii)    funkcja f spełnia w punkcie 0 warunki Ca.uchy'ego-Riemanna,

(iv)    funkcja f nie ma pochodnej /'(0).

Rozwiązanie, (i). Mamy (x² — \y\)² > 0. Stąd dla z ^ 0, x²|y|/(^⁴ + y²) < 1/2 i w konsekwencji \f(z)\ < (l/2)|x| < (l/2)\z\, co daje ciągłość / w punkcie 0.

(ii). Niech h = Xt, X = p. + iu, j.i, i/GR, \X\ = 1 jest ustaloną liczbą i t G M \ {0}. Wtedy

(1)

lim

t-¹ o

/(AQ

Xt

V

= lim - .    _;—

t—>o A£(/i⁴£⁴ +

z/²i²)

= 0.

(iii) . Łatwo zauważyć, że lim^o = /^(0) dla A = 1 i lim_t-¹o = (l/0/y(°) ^{dla A} = Stąd i z (1) dostajemy /'.(0) =

mm=0.

(iv) . Gdyby istniała pochodna /'(0), to, w myśl zadania 1, /'(0) — /'(O) = 0. To jest niemożliwe, bo

/(£ + it²)    £⁵    _1

Ho (£ + i£²) Ho (£ + ż£²)(£⁴ + t⁴)    2'

To kończy rozwiązanie.    □

2.3. Funkcje trygonometryczne

Zadanie 1. Pokazać, ze wprowadzone na C funkcje trygonometryczne pokrywają się na R ze znanymi z analizy rzeczywistej funkcjami trygonometrycznymi.

Rozwiązanie. Oznaczmy przez sin¹, cos¹, tg¹, ctg¹ funkcje trygonometryczne w dziedzinie zespolonej (patrz § § 1.11) , a przez sin, cos, tg, ctg funkcje trygonometryczne w dziedzinie rzeczywistej. Wówczas dla .tGI mamy

sin x

exp ix — exp(—ix)

2i

= sina:,

(cos x + i sin a;) — (cos x — i sin x)

_

2

1

   exp«.r -t- exp(—ix)

cos X — --——

2

(cos x -t- i sin x) + (cos x — i sin .t)

—----- ----- = cos x