chądzyński8

10 2. FUNKCJE ZESPOLONE

Rozwiązanie. Weźmy dowolne punkty z\ z" £ C. Na mocy własności 1.2.2 istnieje punkt w" £ K taki, że p(z") = d{z", w"). Stąd mamy

(1)    p{z') < d(z', w") < d(z'. z") + d(z", w”) = d(z', 2") -f p{z'').

Z (1) dostajemy p{z^r)— p{z”) < d{z’,z"). Ponieważ ostatnia nierówność jest symetryczna ze względu na z' i z", to również p(z”) — p(z^r) < d{z',z”). Stąd

Ip{z')~ p(z")\ < d(z\ z"), co daje ciągłość funkcji p.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 3. Niech G C C będzie zbiorem otwartym i niech p : C 3 z 1—» inf^g/f d(z_yw) £ R+, gdzie H — C \ G i d jest metryką sferyczną. Połóżmy K_n (z £ G : p{z) > 1 jn\ dla n £ N. Pokazać, że ciąg {AT}_7leN spełnia następujące warunki:

(a)    K_n są zbiorami zwartymi i K_n C G,

(b)    G = U„_eN K_n,

(c)    K„ C lut

(d)    każdy podzbiór zwarty K C G jest zawarty w pewnym zbiorze K_n} '

(e)    każda składowa zbioru C \ K_n zawiera pewną składową zbioru C\G

(por. lemat 1.46.1).

Rozwiązanie, (a). Z zadania 2 i zadania l(a)=>(c) wynika, że K_n są zbiorami domkniętymi w C, czyli zbiorami zwartymi. Z określenia K_n C G.

(b) . Wystarczy pokazać, że G C UneN-^i* Jeśli a £ G, to p(a) > 0 i a £ K_n dla n > l/p(a). Zatem a £ |J_neN

(c) . K_n C {ze G : p(z) > l/(n + 1)} = Int K_n+i.

(d) . Z (b) i (c) mamy G — (J_nGN Int K_n. Stąd, ponieważ K jest podzbiorem zwartym G, istnieje takie N £ N, że K C Int /i 1 U • • ■ U Int Kpr c Int. Kn (1 K_n.

(e) . Niech S będzie dowolną składową zbioru C\K_n. Wystarczy pokazać, że istnieje punkt a' £ SOH. Niech a £ S. Ponieważ S C C\ K_n, więc p(a) < 1/n. Na mocy własności 1.5.2 istnieje punkt a¹ £ H taki, że p(a) = d(a,a'). Niech D(a', 1/n) := {z £ C : d(z,a') < 1/n}. Wówczas a £ D(ajl/n). Ponadto D(a', 1/n) C C\I<_n. Istotnie, jeśli 2 £ D(a'A/n), to p(z) < d(z,a^r) < 1/n, czyli 2 £ C \ K_n.

Ponieważ kula D(a', 1/n) jest zbiorem spójnym i a G SC\D(a', 1/n), to SuP(a', 1/n) C C\K_n jest również zbiorem spójnym. Reasumując, Di aj 1/n) C 5, bo S jest składową zbioru C \ K_n. Zatem a' G S. To kończy rozwiązanie.    □

Mówimy, że zbiór A jest względnie zwarty w zbiorze B, co zapisujemy A C B, jeśli zbiór A jest zawarty w zwartym podzbiorze zbioru B (patrz § 1.52)

Zadanie 4. Niech G C C będzie zbiorem otwartym i niech p będzie funkcją określoną w zadaniu poprzednim. Połóżmy G_TL {z G G : p(z) > 1/n} dla n G N. Pokazać, że ciąg {G_n}_n(=N spełnia następujące warunki:

(a)    G_n są zbiorami otwartymi,

(b)    C = U„_łNG»,

(c)    G_n d G_n+i,

(d)    każdy podzbiór zwarty K C G jest zawarty w pewnym zbiorze

G_n,

(e)    każda składowa zbiorm C \ G_n zawiera pewną składową zbioru €\G,

(f)    jeśli zbiór G nie rozcina płaszczyzny, to wszystkie zbiory G_n nie rozcinają płaszczyzny.

Rozwiązanie, (a). Z zadania 2 i zadania l(a)=^(b) wynika, że G_n są zbiorami otwartymi w C. Z określenia G_n C G.

(b) . Wystarczy pokazać, że G C (J_neK ^ⁿ-    ^a € G, to

p(a) >0 i a G G_n dla n > 1/ p(a). Zatem a G UngN^-

(c) . Zbiór K_n — {z G G : p(z) > 1/n}, w myśl zadania 3(a), jest zwarty i G_n C K_n C G_n+1.

(d) . Z (b) mamy G = (J_7ieN G_n. Stąd, ponieważ K jest zwartym podzbiorem zbioru G, istnieje N G N takie, że /{ C G'iU---UG\> C G_n.

(e) . Każda składowa zbioru C\ Gr, zawiera pewną składową zbioru C \ K_n, a ta, w myśl zadania 3(e), zawiera pewną składową zbioru

Ć\G.

(f) . Oczywista konsekwencja (e).

To kończy rozwiązanie.    □