chądzyński1

34 2. FUNKCJE ZESPOLONE

Istotnie, w przeciwnym razie Arg[2oexp(7r — <a)i] = tt dla pewnego zq G G_a. Stąd i z (1) marny a = Arg zq, co jest sprzeczne z określeniem

G_a.

Pokażemy teraz, żc funkcja A_a jest gałęzią argumentu funkcji tożsamościowej na zbiorze G„. Istotnie, funkcja A_a spełnia (2). Ponadto z (3) i z twierdzenia 1.13.1 funkcja G_a 3 z i-+ Arg [zexp(7r — a)z] jest ciągła, i tym samym ciągła jest funkcja A_a.

Na zakończenie pokażemy, że funkcja L_a jest gałęzią logarytmu funkcji tożsamościowej na. zbiorze G_a. Z (*) i (**) mamy

(4)    L_a(z) —Log |z| 4- iA_a(z) dla 2 G G_a.

Z poprzedniego i (4) wynika, że funkcja L_a jest ciągła, a z (4) i (2), że expA_a(z) — 2. Reasumując, funkcja L_a jest gałęzią logarytmu funkcji tożsamościowej na zbiorze G„.

To kończy rozwiązanie.    □ •

Zadanie 3. Pokazać, żc jeśli K C C jest kołem (domkniętym albo otwartym) i a ^ K, to istnieje w K gałąź argumentu i logarytmu funkcji K 3 z z — a G C ^x.

Rozwiązanie. Niech zq będzie środkiem koła K. Połóżmy a := , Arg (a — zq). Niech G₀ będzie obszarem, jaki powstaje z płaszczyzny ; C przez usunięcie punktu 0 i punktów o argumencie głównym o. Na j mocy zadania 2 istnieją na zbiorze G_a funkcje ciągłe A_a i L_n takie, ] że    I

expiA_a(z) — z/\z\, exp L_a(z) — 2 dla 2 G G_a.

Połóżmy / : K 3 z 1—v 2 — a G C^x. Pokażemy, że f(K) C G_Q. ? Przypuśćmy przeciwnie, że dla pewnego 2* e K, Arg (z* — a) = a. Wówczas a. £ K i 2* G K oraz Arg (a — Zo) — Arg (z* — a). Stąd i z > drugiej części zadania 1.1.1    dostajemy    ?

\a — Zo\ > \z* - 2oJ = \z* — a + a — z₀1 = \z* — a| + |a — 2₀j,    jj

co jest niemożliwe.    i

Niech A A_Q o f i L L_a o f. W myśl powyższego funkcje A, \ L są dobrze określone i ciągłe jako złożenie funkcji ciągłych oraz

expżA(2) = (2 — a)/|z — a|, expL(2) = 2 — a dla 2 G K.    |

Zatem funkcje A, L są w^r K odpowiednio gałęziami argumentu i f logarytmu funkcji f.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 4. Niech f : C D E —► C^x będzie funkcją ciągłą i K C C takim kołem, ze 0 ^ K. Pokazać, ze jeśli f(E) C K, to istnieją na E gałęzie argumentu i logarytmu funkcji f.

Rozwiązanie. Na mocy zadania 3 istnieją na zbiorze K funkcje ciągłe A i L takie, że

exp iA{z) — z/\z\, exp L{z) — z dla z £ K.

Stąd i z założenia funkcje A o /, L o / są ciągłe i

exp i A o f (z) = f{z)/\f(z)\, exp Lo f (z) = f(z) dla z £ E.

Reasumując, funkcje A o f i Lof są odpowiednio gałęzią argumentu funkcji / na E i gałęzią, logarytmu funkcji / na E.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 5. Niech T będzie lukiem Jordana, |F|cC i / : JP| —>■ C* będzie funkcją ciągłą. Pokazać, że istnieją na |T| gałęzie argumentu i loga,rytmu funkcji f. W szczególności wynika stąd, że dla dowolnego a |r! istnieją na |T| gałęzie argumentu i logarytm-u funkcji (T( 3 z z — a £ <C.

Rozwiązanie. Niech 7 : (a, (3) —> C będzie opisem parametrycznym luku Jordana T. Z definicji 7 odwzorowuje homeomorficznie przedział (n,/?) na zbiór (FJ. Wystarczy zatem pokazać, że dla funkcji / 07 na przedziale (a, fi) istnieją jej gałąź argumentu A i gałąź logarytmu L. Wtedy funkcje ,4 07'^ L o y~¹ będą odpowiednio na |T| gałęzią argumentu i gałęzią logarytmu funkcji /.

Połóżmy g f o 7 i / := (a, fi). Niech p będzie kresem dolnym ip(f)| dla t £ I. Oczywiście p > 0. W myśl jednostajnej ciągłości funkcji g istnieje taka liczba S > 0, że

(1)    W)~g{t")\<P dla \t’-t”\<5.

Niech a — to < ti < ... <    < t_n — (3 będzie podziałem przedziału

I o średnicy mniejszej niż S. Połóżmy I_k := {t_k-i,tk) i 9k ■= g\r_k, k ~ 1,.. .,n. Wówczas z (1) wynika, że wartości funkcji g_k należą do koła K_k = {z £ C : \z — g(tk~i)\ < p] i oczywiście 0 4 K_k. Zatem na