img462 (2)

funkcji / w punkcie x₀ O (w przeciwnym razie funkc :ja nie byl.iby różniczkowal-na w tym punkcie). I tu otrzymujemy /'(0)= 0.

co możemy zapisać krócej: /'(x) =■

2x dla x < O -3x² dla x > O

2x	dla x < 0
0	dla x = 0 ,
-3x^2 dla x > 0
J	2x dla x < 0
1	-3x^2 dla x > 0.

Ad b) Rozumując jak w poprzedniej części zadania, stwierdzamy, że:

-2x dla x < O,

/'(*) =

Funkcja / jest ciągła w punkcie x₀ = O, ponieważ

— dla x > O.

Iim₊/(x) = lim.

x->o⁺-^/ ' '    x->0

= O, lim /(x) = lim (-x²) = O,

x^o ^J ' '    x->0 '

czyli

linju/M = lim/M = lim /(x) = O oraz lim /(x) = O = /(O).

x-»0    x-*0    X—>0    x-»0

Obliczamy dalej:

lim₊/'(x) = lim₊ T^- = -^r

x->0⁺'^{/ v} '    x~>0 10    10

oraz lim /'(x) = lim (-2x) = O.

x—>0~ ^J v '    x-K)~ '

Granice te co prawda są skończone, ale nie są sobie równe, a więc funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie x₀ = O. Ostatecznie więc:

r w

-2x dla x < O, 1

10

dla x > O.

Ad c) Mamy f'(x) =

3x² dla x < O

1    ,,    ^ ■ Ponadto lim_ł/'(x) = linr —

-^=- dla x > O    x^o^{+y v} ' x->o 2'

2a/x

skąd już wynika, że funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie x₀ = O. Zatem

/'W

3x² dla x < O, 1

—=- dla x > O.

2Vx

PRZYKIAD 9.

Znajdziemy równanie stycznej, poprowadzonej do wykresu funkcji

^a)    f(^x) - x³ - 5x² + 7x w punkcie P(x₀, 3);

b)    /(x) = x³ - 3x w punkcie P(O, y₀).

Ad a) Do znalezienia równania stycznej potrzebne nam są obie współrzędne punktu P. Najpierw znajdujemy więc x₀, korzystając z tego, że punkt P należy do wykresu funkcji /. Mamy

(x₀)³ - 5 (x₀)² + 7x₀ = 3,

skąd

x₀ = 1 (pierwiastek podwójny) lub x₀ = 3.

Obliczamy dalej /'(x) = 3x² - 10x + 7.

Rozpatrzymy dwa przypadki:

1⁰ x₀ = 1. Wtedy /'(x₀) = 0 i równanie stycznej ma postać: y - 3 = 0, czyli y = 3; 2° x₀ = 3. Tym razem /'(x₀) = /'(3) = 4 i równanie stycznej ma postać y - 3 = 4(x - 3), czyli y = 4x - 9.

Istnieją więc dwie styczne o żądanej własności: y = 3 oraz y = 4x - 9. Rozwiązanie zadania ilustruje rysunek poniżej:

A