070(1)

§ 4. Maksimum i minimum, czyli ekstrema funkcji

Wartość funkcji f(x) w punkcie x₀ nazywamy maksimum (minimum), jeśli jest ona największą (najmniejszą) wartością w porównaniu z wartościami tej funkcji we wszystkich dostatecznie bliskich punktach na lewo i na praw'' od x₀.

Funkcja może osiągać ekstremum (maksimum lub minimum) tylko w punktach należących do dziedziny funkcji, w których pochodna funkcji albo jest równa zeru, albo nie istnieje¹'.

Punkty takie noszą nazwę punktów krytycznych. W odpowiednich punktach wykresu funkcji styczna jest równoległa do osi odciętych (/ — 0) lub do osi rzędnych (/ = oo), bądź też nie ma określonej stycznej (np. w punkcie kątowym).

Z wykresu funkcji na rys. 50 widać wyraźnie, że punktami ekstremalnymi są wszystkie punkty, w których funkcja zmienia swój przebieg i jest ciągła.

i) Są to warunki konieczne istnienia ekstremum (ale nie dostateczne, gdyż mogą być one spełnione także w punktach, w których nie ma ekstremum, np. w punktach jr₂, x_s, x₁ na rys. 50).

Punkty i x₄, w których przy przejściu przez nie argumentu x funkcja z rosnącej staje się malejącą, są punktami maksimum, a punkty x₃ i x₆, w których przy przejściu przez nie argumentu x funkcja z malejącej staje się rosnącą, są punktami minimum funkcji.

Ponieważ jednak przebieg funkcji (wzrost lub malenie) jest scharakteryzowany znakiem pochodnej, funkcja będzie miała ekstrema w takich punktach, w których pochodna zmienia znak na przeciwny, przy czym sama funkcja jest w nich ciągła¹’.    j

Wynika stąd następująca reguła poszukiwania ekstremum funkcji. Aby znaleźć punkty ekstremalne funkcji y = /(.*), w których funkcja jest ciągła, należy:

I. Wyznaczyć pochodną y' i leżące wewnątrz obszaru określoności funkcji, punkty krytyczne, w których pochodna jest równa zeru bądź nie istnieje, a sama funkcja jest ciągła.

Ha. Określić, jaki znak ma y’ na prawo i na lewo od każdego punktu krytycznego, przy czym, jeśli przy przejściu argumentu x przez punkt krytyczny x₀:

1)    y' zmienia znak z + na —, to Xo jest punktem maksimum;

2)    y' zmienia znak z — na +, to x₀ jest punktem minimum;

3)    y' nie zmienia znaku, to w punkcie x₀ nie ma ekstremum.

Punkty krytyczne, w których y' = 0, niekiedy prościej jest badać rozpatrując w tych punktach znak drugiej pochodnej. Wtedy zamiast reguły Ha korzystamy z następującej reguły: -

Ilb. Wyznaczamy drugą pochodną y" i określamy jej znak w każdym punkcie krytycznym, przy czym, jeśli okaże się, że w punkcie krytycznym x₀, gdzie y' = 0:

1)    y" > 0, to xq jest punktem minimum;

2)    y" < 0, to xo jest punktem maksimum;

3)    y" = 0, to pytanie, czy w punkcie tym istnieje ekstremum, jest nie rozstrzygnięte. Taki punkt krytyczny, jak i każdy inny, można badać wg reguły Ila.

Po zbadaniu istnienia ekstremów funkcji należy je wyznaczyć, czyli obliczyć wartości funkcji w tych punktach.

Przy poszukiwaniu ekstremów pewnych typów funkcji możliwe są istotne uproszczenia. Zachodzi to na przykład, gdy funkcja ma postać

') Są to warunki dostateczne istnienia ekstremum funkcji (gdy są one spełnione w którymkolwiek punkcie, to punkt ten jest na pewno punktem ekstremalnym).

143