1109145319

Uwaga 4.4 W powyższej definicji pytamy o lokalne ekstrema w zbiorze C^l(a,b; A, B) czyli wśród funkcji różniczkowalnych. Wówczas w literaturze ekstrema te nazywa się słabymi. Tę samą definicję można również stosować do funkcjonałów określonych na (większej) przestrzeni funkcji ciągłych C(a,b). Tutaj ekstremum nazywamy silnym.

Jeśli w powyższej definicji nierówność zastąpimy poprzez nierówność nieostrą to określimy ekstrema nieostre.

4.3 Warunek konieczny extremum funkcjonału. Równanie Eulera.

Przypomnijmy wzór na pochodną funkcji złożonej. Rozpatrujemy funkcje x(t), y(t) oraz F(x, y). Wówczas pochodna funkcji złożonej F(x(t), y(t)) wyraża się wzorem

Twierdzenie 4.5 Euler Dany jest funkcjonał

Jeśli funkcjonał ten osiąga w punkcie x 6 C^l (a, b: A, B) ekstremum (słabe) to spełnione jest równanie Eulera

Uwaga 4.6 Równanie Eulera jest warunkiem koniecznym na ekstremum funkcjonału ale nie jest warunkiem wystarczającym. Funkcje w której jest ono spełnione nazywamy ekstremalą funkcjonału. Jest to odpowiednik punktu stacjonarnego.

Oczywiście, podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, funkcjonał może nie mieć esktremum lokalnego.

Przykład 4.7 Znaleźć najmniejszą wartość funkcjonału

J[*] = jf \A + (x'(t))²dt

na przestrzeni funkcji C¹ [0,1; 0,1].

A zatem F{t,x,x') = <Jl + (x'(t))². Obliczamy pochodne cząstkowe i wstawiamy do wzoru Eulera.