75622

8. V_Oł0_€tfV_a6v a • (/? • a) - {a • fi) ■ a

Uwaga 6.0.1. Zauważmy, że w powyższej definicji występują dwa różne rodzaje mnożenia i dwa różne rodzaje dodawania: jedno jest działaniem przestrzeni liniowej (wewnętrznym lub zewnętrznym) i jest związane w jakiś sposób z wektorami, a drugie jest działaniem występującym w ciele K. Mimo to, nie powinno to prowadzić do nieporozumień. Podobna definicję przestrzeni liniowej można znaleźć, np., w [3]. Ponieważ w dalszej części rozważać będziemy przede wszystkim przestrzenie liniowe euklidesowo, działania te są czytelnikowi zrozumiałe, a różnica między nimi występującą. choć jedynie subtelna, nie powinna być źródłem komplikacji.

Do przykładów przestrzeni liniowych zaliczyć możemy, np., zbiór liczb rzeczywistych nad ciałem liczb wymiernych z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia, bądź też zbiór liczb zespolonych wraz z ciałem liczb zespolonych, również z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia. Z bardziej skomplikowanych przykładów przestrzeni liniowych podać można zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach zespolonych rozpięty nad ciałem liczb zespolonych, czy też zbiór wszystkich ciągów- liczbowych zbieżnych do zera wraz z ciałem liczb rzeczywistych. Dw-a ostatnie przykłady stanowią przestrzenie liniowe nieskończenie wymiarowe. Więcej o takich tworach algebraicznych można przeczytać w podręcznikach do analizy funkcjonalnej, np. [8].

Z powyższej definicji należy wysnuć jeden istotny wniosek: wektor nie jest tylko czymś w rodzaju ”skończonego układu liczb rzeczywistych”. Wektorem nazwiemy bowiem każdy element zbioru V. Podane powyżej przykłady przestrzeni liniowych obrazują jak różne twory mogą być wektorami (np. ciągi lub funkcje).

Nietrudno spostrzec, że zachodzi

Twierdzenie 6.0.1. Zbiór R" dla dowolnego n £ N wraz z ciałem liczb rzeczywistych i naturalnie zdefiniowanymi działaniami dodawania i mnożenia tworzy przestrzeń liniową.

W dalszym ciągu podręcznika jako przestrzeń liniow-ą będziemy uważali przestrzeń liniową euklidesową IR". Zakładamy, że pojęcia wektora w tej przestrzeni jest

2