6 (46)

119

Zadania

istnieje (i jest skończona).

/ e SI na <0,1>, to pokazać, że powyższa definicja całki pokrywa się z normalną.

Scestruować funkcję/taką, że powyższa granica dla tej funkcji istnieje, a nie istnieje dla funkcji \f\. A ~*r~-. f e £ na <a, ł>> dla dowolnego b > a i ustalonego a, to określimy

J /(x)dx = lim]'/(x)dx,

Bpfamca istnieje; będziemy wtedy mówić, że całka jest zbieżna. Udowodnić tak zwane kryterium całkowe

CO

^^Kfdsrerepów; Jeżeli/(x) > 0 i/maleje monotonicznie przy x > 1, to J/(x)dxjest zbieżna wtedy i tylko wtedy, «, ¹ Bga mężny szereg £/(n).

n= 1

La Pr kazać. że całkowanie przez części ma czasami zastosowanie w przypadku całek „niewłaściwych" określo-■|t aadiniach 7 i 8. (Sformułować odpowiednie założenia oraz tezy i wykazać je.) Na przykład pokazać, że

J

l+x

dx =

(l+x)²

rdx.

BMtanc że jedna z całek jest zbieżna bezwzględnie, a druga nie.

Niech p i q będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że —h - = 1. Wykazać następujące fakty:

P 9

A Jeżeli u > 0 i» > 0, to

u"    vi

uv $ —I- — P 9

■oc-sć zachodzi jedynie wtedy, gdy w = v«. li Jeżeli/ e 0l(a) i g e &(<*), f > 0, g > 0, oraz

b

1 = f gida,

a

jfgda « 1.

[ <3 Jeżeli fig są funkcjami zespolonymi należącymi do SI (a), to

tffgM < {J\f\^pdaj^llr {J|p|Va}^ł/ł.

a    a    a

Rat ; -_=k zwana nierówność Haidera. Przy p = q = 2 nazywana jest zazwyczaj nierównością Schwarza. (Zauważmy, Ihttnerdzenie 1.35 jest szczególnym przypadkiem takiej nierówności.)

C Wykazać, że nierówność Holdera zachodzi też dla całek „niewłaściwych'’ określonych w zadaniach 7 i 8. IL Niech a będzie ustaloną funkcją rosnącą na <o, b}. Dla u e M(a) określmy

NU = UM²d«}^1/2.

a

Bk/, g, h e &(a) udowodnić nierówność trójkąta

Uf-h\\2 < \\f-gUg-h\\₂

•s: konsekwencję nierówności Schwarza podobnie jak w dowodzie twierdzenia 1.37.

II Przy oznaczeniach jak w zadaniu 11, niech/s 91 (a) i s > 0. Wykazać, że istnieje funkcja g ciągła na (a,

■**- że II/—9II2 < «•

Wskazówka. Niech P = {x₀.....x„} będzie odpowiednim podziałem (a, 6). Określmy

g(t) = -~r—f(^xi-1)+    ‘/(x,) dla x₍_ i < t < X(.

dx,    dx,-