3148972994

1.5. Grupa Grothendiecka i forma Eulera

prawie rozszczepialnymi. Zauważmy, że z powyższych rozważań wynika, że moduł X nie może być injektywny, moduł Z nie może być projektywny, oraz X ~ t_aZ i Z ~ t^X.

Powyższe pojęcia pozwolą nam zdefiniować pojęcie kołczanu Auslandera-Reiten algebry A, który będziemy oznaczać przez Jest to kołczan z translacją, którego zbiorem wierzchołków jest zbiór klas izomorfizmów nie-rozkładalnych A-modułów, które będziemy także identyfikować z samymi modułami. Jeśli X i Y są dwoma nierozkładalnymi A-modułami, X —> M jest minimalnym lewym prawie rozszczepialnym odwzorowaniem, N —> Y jest minimalnym prawym prawie rozszczepialnym odwzorowaniem, to ilość strzałek z X do 7 w jest równa krotności modułu Y w M lub, równoważnie, modułu X w N. Translacja w kołczanie Ta jest indukowana przez ta- Dzięki utożsamieniu nierozkładalnych A-modułów z wierzchołkami kołczanu możemy mówić o nierozkładalnych modułach preprojektywnych i preinjektywnych. Ogólnie, moduł będziemy nazywać preprojektywnym, gdy jest sumą prostą nierozkładalnych modułów preprojektywnych, zaś preinjek-tywnym, gdy jest sumą prostą nierozkładalnych modułów preinjektywnych. Jeśli C jest składową skierowaną kołczanu Auslandera-Reiten o skończonej liczbie r^-orbit, to będziemy mówić, że składowa C jest standardowa, jeśli mamy równość dim*- Hom^fW, Y) = dc(X, Y) dla wszystkich nierozkładalnych A-modułów X i Y należących do C. Przypomnijmy, że funkcja dc została zdefiniowana w paragrafie 1.3.

1.5. Grupa Grothendiecka i forma Eulera

Niech A = KQ/I będzie algebrą, gdzie Q = (Qo,Qi) jest jej kołczanem. Definiujemy grupę Grothendiecka K₀(A) kategorii mod A jako Z^Qo. Elementy grupy Kq(A) będziemy nazywać wektorami. W grupie Kq(A) możemy wprowadzić porządek. Jeśli x, y € Kq(A), to x < y wtedy i tylko wtedy, gdy x(a;) < y(#) dla każdego x E Qq. Możemy także mówić o nierównościach ostrych. W szczególności w Kq(A) mamy wektory dodatnie określone przez warunek x > 0. Dla każdego A-modułu M definiujemy wektor wymiaru dim M E Kq(A) wzorem

dimM(x) := dim_K(x\x)M

dla x E Qq. Wektory wymiaru mają dobrą interpretację. Okazuje się bowiem, że

dim M{x) = dim*: Hom^(P_a;, M) = dim# Hom^(M, I_x)