3148972996

1.5. Grupa Grothendiecka i forma Eulera

dla x E Qo. Warto dodać, że wzory zadające równoważność kategorii mod A i rep(Q, I) implikują, iż jeśli 0—> N —> L —* M —>■ 0 jest ciągiem dokładnym A-modułów, to dim L = dim M + dim N.

Wektor x G Kq{A) jest spójny, jeśli jego nośnik suppx := {x G Qo \ x(x) 7^ 0} jest spójny. (Dokładniej, pełny podkołczan kołczanu Q generowany przez suppx jest spójny. Często pisząc suppx będziemy mieli na myśli ten kołczan.) Nośnik wektora wymiaru modułu M będziemy nazywać nośnikiem supp M modułu M. Zauważmy, że jeśli B = KQ'/I' jest wypukłą podalgebrą algebry A, to kategorię mod B możemy utożsamiać z pełną podkategorią kategorii mod A utworzoną przez A-moduły o nośniku zawartym w Q'. Jeśli C jest składową kołczanu Auslandera-Reiten algebry A, to będziemy także mówić o nośniku suppC tej składowej, który jest zdefiniowany wzorem

suppC := suppA’.

x<=c

Zauważmy, że jeśli M i N są dwoma A-modułami o własności supp M fi supp = 0, to Hom^(M, N) = 0. Wektor x jest wierny, gdy suppx = Q. Podobnie definiujemy wierne A-moduły. Wyróżnimy pewne wektory wymiaru. Określamy p_x := dim P_x, q_x := dim I_x i e_x := dim S_x dla x G Qq. Mamy wtedy wzory e_x(i/) = S_XiV dla x,y G Qo.

Definiujemy macierz Cartana Ca algebry A jako Qq x Qo-macierz określoną warunkiem

C_A(x,y) := dim^ Hom^(P_x, P_y) = dim^Hom_A(I_XiI_y).

Jeśli macierz C_A jest odwracalna (tak jest na przykład, gdy algebra A jest trójkątna, tzn. kołczan Q jest skierowany), to możemy zdefiniować dwudniową formę {—,—)_A na Kq(A) wzorem

<x,y)a :=x(C^^I)^Ty^T

dla x, y G K₀(A). Ringel pokazał (patrz [Ri2]), że forma ta ma następującą interpretację homologiczną. Jeśli M i N są A-modułami takimi, że pd_A M < oo lub id>i N < oo, to

{dim i\/, dim iV).4 = ^(-l^dimjf Ext^(Af, N).

k=0

Formę kwadratową xa daną wzorem

Xi4(x) := (x,x)_A

20