image 061

Twierdzenie o dualności 61

Zauważmy, że podstawienia (3.48)-i-(3.50) implikują również przejście od (3.22) do (3.23). Jeśli teraz uwzględnimy sposób określania pól na podstawie znajomości potencjałów wektorowych, to stwierdzimy, że z zależności (3.4) uzyskujemy (3.14), jeśli wykorzystamy (3.48)-r(3.50) oraz dodatkowo:

H —► —E    (3.51)

Jeśli rozważymy z kolei zależności (3.26)-f(3.28) oraz (3.32)-^-(3.34), to dla uzyskania składowych pola elektrycznego E ze składowych pola magnetycznego H powinniśmy zastosować podstawienie (3.51) oraz dodatkowo:

E -> H    (3.52)

z_w —> —    (3.53)

gdzie z_w jest    impedancją właściwą ośrodka, w którym poszukujemy rozwiązań.

Z zależności (3.48) oraz (3.53) wynika dodatkowo, że w takim przypadku musimy wykonać podstawienie:

e /i    (3.54)

Przedstawione    własności    symetrii mają duże    znaczenie    praktyczne.    Jeśli bo

wiem mamy dwa równania o tej samej postaci i z takimi samymi warunkami brzegowymi, to ich rozwiązania są sobie równe. Sens tego stwierdzenia w odniesieniu do problemów elektrodynamicznych jest następujący: jeśli znamy rozwiązanie dla danego problemu elektrodynamicznego związanego z pobudzeniem w postaci np. prądu J, to metodą prostych podstawień możemy uzykać rozwiązanie dla tzw. problemu dualnego, w którym pobudzeniem jest M. Należy przy tym pamiętać, że w problemie dualnym zamianie muszą ulec warunki brzegowe - (3.51) implikuje zamianę ścianek elektrycznych na magnetyczne.

Przedstawione twierdzenie o dualności bywa również nazywane zasadą kom-plementarności lub zasadą Babineta [5].

Szczególnie użyteczna jest relacja pomiędzy rozwiązaniami dla danego problemu (E, H) i problemu komplementarnego (£*, H^) dla obszarów bez źródeł; formułuje się ją następująco:

E = =fz_w Hk    (3.55)

H = ± — E_k    (3.56)

Zw

Pozwala ona w prosty sposób określić wybrane parametry (np. impedancję wejściową anteny) struktury komplementarnej, jeśli tylko znamy rozwiązanie dla problemu oryginalnego. Przykładowo wyprowadzimy zależność wiążącą impedancję dipola Zd z impedancją komplementarnej szczeliny z_szcz.