5378219180

WYKŁAD 1. PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Zauważmy, że {<05} = A U B.

Na zbiorze zdarzeń losowych określa się funkcję P o własnościach:

(a)    dla każdego zdarzenia A jest 0 ^ P(A) ^ 1,

(b)    P(fi) = 1, P(0) = 0,

(c)    P(Ai U A2 U ...) = P(Ai) + P(A₂) + ... dla zdarzeń parami rozłącznych.

Taka funkcja nazywa się prawdopodobieństwem.

Z własności (a) - (c) można wyprowadzić dalsze pożyteczne własności:

(d)    P(A) = 1 - P(A),

(e)    jeśli B ę A to P(A\ B) = P(A) - P(B),

(f)    dla dowolnych (niekoniecznie wykluczających) się zdarzeń A i B:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B).

Niech Ai,A₂.....A_n będą zdarzeniami parami rozłącznymi i równoprawdopodobnymi, takimi że

Ai U A₂ U • • • U A„ = fi. Przykładem takich zdarzeń mogą być zdarzenia losowe jednoelementowe

Ai = {u>i}.....A„ = {w_n},

gdy fi = {0)1,102,... ,u)_n}. Wtedy P(A,) = 1/n, a każde inne zdarzenie A, które jest sumą k takich rozłącznych zdarzeń, ma prawdopodobieństwo

m = l

Zdarzenia A,- wchodzące do zdarzenia A, tzn. takie, że A,- C A nazywamy zdarzeniami sprzyjającymi zdarzeniu A. Wzór (1.1.1) mówi wtedy, że prawdopodobieństwo zdarzenia A jest stosunkiem liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A do liczby wszystkich zdarzeń A,-. Wzór (1.1.1) nazywa się często klasyczną definicją prawdopodobieństwa. Należy jednak pamiętać, że wzór(l.l.l) jest prawdziwy tylko dla zdarzeń A,- równoprawdopodobnych!

Przykład 1.1.3. Obliczyć prawdopodobieństwo wygrania „czwórki" w totolotka. Losowanych jest 6 numerów spośród 49 numerów. Jest

n - (⁴®) - 13983816

takich możliwości. Niech A/, oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu „czwórki”. Jest

k =

15 • 903 = 13545

takich zdarzeń. Stąd

'w-rssr®-⁰'"⁶⁸⁶⁴"-⁰⁰¹'

Oznaczając przez A5 i A6 wylosowanie „piątki" i „szóstki", otrzymujemy w ten sam sposób P(A_S| -    - 1.845 • 1(T⁵ < 0.0001,

f*U«l

P(A>) =    _ 7.151.10-s < 0.0000001.

U)

Ponieważ zdarzenia A4, Ag i Ag są parami rozłączne, to prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej „czwórki” wynosi P (A4) + P (A5) + P (Ag) i jest mniejsze od 0.001.