5378219181

7

WYKŁAD i. PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A, jeśli wiadomo, że zaszło zdarzenie B (pod warunkiem zdarzenia B), oznaczamy symbolem P(A|B) i obliczamy następująco:

= (1-1-2)

o ile P(B) > 0. Zwróćmy uwagę, że prawdopodobieństwa: bezwarunkowe P (A) i warunkowe P (A|B) są prawdopodobieństwami tego samego zdarzenia A. Prawdopodobieństwa te mogą być różne, gdyż fakt zajścia zdarzenia B może być dodatkową informacją o zdarzeniu A i jego znajomość może zmienić prawdopodobieństwo tego zdarzenia. Z tego powodu zdarzenie B nazywane jest często przyczyną, a zdarzenie A - skutkiem.

Ze wzoru (1.1.2) wynika często używany wzór

P (A n B) = P (A|B) P (B) = P (B|A) P (A).

Jest on pożyteczny w sytuacji gdy znamy prawdopodobieństwo przyczyny, tzn. znamy P (B) i znamy prawdopodobieństwo z jakim przyczyna B wywołuje skutek A, tzn. znamy P (A|B).

Zdarzenia A i B określamy jako niezależne, gdy

P (A n B) = P (A) P (B).    (1.1.3)

Porównując wzory (1.1.2) i (1.1.3), otrzymujemy wniosek, że jeśli zdarzenia A i B są niezależne, to P (A|B) = P (A) i P (B|A) = P (B), czyli jeśli A i B są niezależne, to prawdopodobieństwo warunkowe jest równe prawdopodobieństwu bezwarunkowemu.

Załóżmy, że zdarzenie A może zajść, jeśli zajdzie jedno z wykluczających się zdarzeń Bf, Bi,..., B_n, tzn. gdy dla dowolnej pary i j= j jest B,- n B; = 0 oraz załóżmy, że Bi U B2 U • • • U B„ = fi. Wtedy prawdziwe są dwa wzory:

h P(A|B„)P(B_n),

(1-1-4)

(1.1.5)

P (A) = P (A|Bi) P (Bi) + P (A|B₂) P (B₂) -t

P(A)

gdzie P(A) we wzorze (1.1.5) można obliczyć ze wzoru (1.1.4). Wzór (1.1.4) nosi nazwę wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, a wzór (1.1.5) - wzoru Bayesa.

Przykład 1.1.4. Dla zdarzeń określonych w przykładzie 1.1.2 mamy

1.2. Zmienne losowe

Zmienną losową X jest funkcja określona na przestrzeni zdarzeń elementarnych fi o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych R, tzn.

X : fi -» R.

Zwyczajowo zmienne losowe oznacza się dużymi literami z końca alfabetu: X, Y,..., a ich wartości małymi x, y,..., tzn. piszemy x = X (&>), y = Y (<o) itd. Wartość x zmiennej losowej X (w) nazywamy realizacją zmiennej losowej.