5378219183

9

WYKŁAD i. PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Z definicji gęstości wynika, że ma ona własności:

a)    / (x) £ 0,

b)    J f (r) dr = i.

Własność b) geometrycznie oznacza, że pole pod wykresem gęstości jest równe jeden.

Za pomocą gęstości zmiennej losowej typu ciągłego obliczamy P (a < X < b):

b

P(a < X < i>) - F(b)-F(o) - Jf(x)dx.

Dla zmiennej losowej X typu ciągłego, P (X = xo) = 0 dla dowolnej ustalonej liczby xo- Wtedy też P (X < x) = P (X ^ x).

Przykład i.2.3. Określmy gęstość wzorem

/(x)-f²(l-^X) ^dla0<x<1'

I 0    dla pozostałych x.

Wykres gęstości jest przedstawiony na rys. l.la. Oczywiście / (x) ^ 0. Jak widać na wykresie, spełniony jest również warunek b), gdyż obszar pod wykresem tworzy trójkąt o polu równym 1. Dystrybuanta dla 0 < x < 1 jest określona wzorem

F (x) = P (X < x) = 2 f{l-t)dt= -2(1 -f)²    = x(2 -x).

o    lo

Wykres F (x) jest przedstawiony na rys. l.lb.

Rysunek 1.1: Gęstość i dystrybuanta zmiennej losowej z przykładu 1.2.3

Para zmiennych losowych X i Y ma rozkład dwuwymiarowy. Dystrybuanta tej pary nazywa się dysłrybuantą łączną i wyraża się wzorem

F(x,y) = P(X<x,Y<y).    (1.2.5)

Dystrybuanty zmiennych losowych X i Y

F_x(x) = P(X<x),

F_v(y) = P(Y<y)

noszą nazwę dystrybuani brzegowych.