5378219167

12

WYKŁAD i. PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Przykład 1.3.2. Niech zmienna losowa X będzie laka jak w przykładzie 1.2.2. Ponieważ P (X = i) = 1/6 dla i = 1,2,... ,6, to korzystając z łych samych wzorów co w przykładzie 1.3.1 i w ten sam sposób, otrzymujemy

1    21    7

EX= -(1+2 +••• + 6) = - = - = 3.5,

EX² = i(l^! + 2² + ... + 6^J) = |,

D^!X - EX² - (EXf - |    | a 2.92,

O - \ftfX - y|| a i.71.

Medianą może być dowolna liczba 3 $; £1/2 $; 4, a więc w szczególności można przyjąć £1/2 = EX = 3.5. Pozostałe kwartyle odchylenie i ćwiartkowe są wyznaczone jednoznacznie ze wzoru (1.3.1) dla p = 1/4 i p = 3/4.

Qi = 2, bo P (X ^ 2) = 1/3 £ 1/4, P (X ^ 2) = 5/6 ^ 3/4,

Qs = 4, bo P (X ^ 4) = 5/6 £ 3/4, P(X £ 4) = 1/3 £ 1/4,

Q = Q3-Qi=2>0.

Wartość oczekiwana i wariancja mają następujące własności:

E(aX) =    aEX,    (1.3.7)

E(X + Y) =    EX + EY,    (1.3.8)

D²(aX) =    a²D²X,    (1.3.9)

(1.3.10)

Dla niezależnych X, Y:

D²(X + ¥) = D¹X + D²y.    (1.3.11)

Jeśli zmienne losowe X i Y nie są niezależne, to równość (1.3.11) może nie zachodzić. Kowariancja jest określona wzorem

Cov (X, Y) = E ((X - EX) (Y - EY)) = E (XY) - (EX) (EY).    (1.3.12)

Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to Cov (X, Y) = 0. Nie zachodzi wynikanie w drugą stronę: jeśli Cov (X, Y) = 0, to X i Y nie muszą być niezależne. Korzystając z kowariancji, można obliczyć wariancję sumy zmiennych losowych, które nie muszą być niezależne:

D² (X + V) - D²X + D'²V + 2Cov (X, ¥).    (1.3.13)

Przykład 1.3.3. Rozważmy zmienne losowe X i Y z przykładu 1.2.4. Oczywiście EX = 3.5 i D²X ~ 2.92 tak,

jak w przykładzie 1.3.2. Obliczamy tylko parametry zmiennej losowej Y. Ponieważ kolejne prawdopodobieństwa P (Y = i) są następujące: 1/36, 3/36, 5/36, 7/36, 9/36, 11/36, to Me = 5, gdyż

1 + 3 + 5 + 7 + 9    25    1    9 + 11    20 ^ 1

36    “ 36 ^> 2'    36    ~ 36 ^> 2

1

żadna inna liczba nie spełnia warunków (1.3.1) dla p = 1/2. Obliczamy wartość oczekiwaną: