stat Page resize

17

Elementy rachunku prawdopodobieństwa

Przykład 2.7. Niech doświadczeniem losowym będzie dwukrotny rzut monetą. Przez o oznaczmy wyrzucenie orla, przez r - reszki. Wtedy

fi = {(_O,o),(_0>r),(r,o),(r,r)} .    (2.11)

Każde ze zdarzeń powyżej wypisanych jest zdarzeniem elementarnym.. Przykładem zdarzenia losowego jest np. A - wylosowanie przynajmniej jednego orla. Wtedy

A = {(o,r),(r,o),(o,o)} .    (2.12)

Uwaga! Należy pamiętać, że zdarzenie losowe, które rozpatrujemy, może być „dowolne”, ale jednocześnie musi być „dostatecznie porządne”. Wiąże się to ściśle z teorią miary w matematyce, której tutaj nie będziemy przypominać. W praktycznych zastosowaniach właściwie wszystkie zdarzenia losowe, które możemy sobie realnie wyobrazić i o prawdopodobieństwie których będziemy mówili są „dostatecznie porządne”. Zupełnie ściśle rzecz ujmując, rodzinę tych „odpowiednich” zdarzeń losowych oznaczamy przez T i będziemy przez nią rozumieli pewne ćt-ciało, np. zbiorów otwartych w Cl.

2.3 Prawdopodobieństwo

2.3.1 Rozkład prawdopodobieństwa

Załóżmy, że mamy zdefiniowaną przestrzeń zdarzeń elementarnych Q i odpowiednio „porządną” rodzinę zdarzeń losowych T. Wtedy możemy wprowadzić następującą definicję.

Definicja 2.8. Rozkład prawdopodobieńst wa na przestrzeni Q jest to funkcja, która dowolnemu zdarzeniu A € T przyporządkowuje liczbę P(/ł) zwaną prawdopodobieństwem zbioru A. Funkcja ta spełnia następujące aksjomaty:

1.    P(fi) = 1

2.    dla dowolnego A € T zachodzi 0 < P(A) < 1

3.    dla dowolnego, skończonego lub nieskończonego, ciągu rozłącznych zdarzeń A\,A2,... zachodzi P (Uj=i Ai) =

Uwaga! Możliwe jest zdefiniowanie pojęcia rozkładu prawdopodobieństwa również w odmienny sposób, na bazie innego zestawu aksjomatów'. Są to jednak sposoby równoważne, tzn. np. to co jest trzecim aksjomatem powyżej, można uzyskać jako wniosek z odpowiednio dobranego odmiennego zestaw^ru aksjomatów.

Powyższa definicja nie wskazuje, w' jaki sposób otrzymać opis probability-styczny, który byłby sensów-nym i „dostatecznie” zgodnym z realiami modelem jakiegoś zjawiska spotykanego w' praktyce. Odpowiedzi na pytanie o zgodność między założonym przez nas matematycznym modelem probabilistycznym a rzeczywistością, uzyskać można np. poprzez wnioski wyciągnięte z zastosowania statystyki matematycznej.

Określoną trójkę (f!,.7^r, P) będziemy nazyw^rać przestrzenią probabilistyczną. Od tej pory cały czas zakładać będziemy istnienie takiej trójki.