stat Page@ resize

40

3.6 Testy statystyczne

przy czym niech np. a = 0,05.

Korzystając z centralnego twierdzenia granicznego, możemy przybliżyć skomplikowany dwumianowy rozkład zmiennej X prostszym obliczeniowo rozkładem normalnym. W ten sposób mamy X ~ N(np\ np(l - p)). W naszym przypadku jest to X ~ jV (500; 250). Po zastosowaniu twierdzenia o standaryzacji mamy zatem

-'•(p⁹ >»){-•

co dla Y z rozkładu normalnego standardowego oznacza

P

0,025 ,

(3.80)

(3.81)

dzięki czemu z tablic rozkładu normalnego standardowego otrzymujemy

y/550 '

co po zaokrągleniu do liczby całkowitej daje c = 31. Zatem

P//₀(|X - 500| > 31) « a .    (3.82)

Otrzymaliśmy w ten sposób regułę testującą: jeśli liczba wyrzuconych oczek jest zbyt mała (mniejsza lub równa 478) lub zbyt duża (większa lub równa od 532) powinniśmy odrzucić hipotezę o symetrii monety. Dla k = 458 otrzymanego w naszym doświadczeniu hipotezę zerową (3.77) trzeba więc odrzucić.

W rozważanym przez nas przypadku obszar krytyczny K ma postać

K = {0,1,...,468} U (532,533,...,1000} .    (3.83)

3.6.1 Błąd pierwszego i drugiego rodzaju. Moc testu

Łatwo zauważyć, że w procedurze testowej posługiwaliśmy się pewną funkcją obserwacji. W przykładzie (3.36) była to liczbą orłów w doświadczeniu losowym. Jest to zatem statystyka, a ponieważ wykorzystujemy ją do testowania, odpowiednią funkcję zmiennych T(X\, X%, ..., X_n) w każdym z testów będziemy nazywać statystyką testową.

Matematycznie testem hipotezy zerowej przeciwko hipotezie alternatywnej będziemy nazywać funkcję 6 od statystyki testowej T postaci

6(T(X_U..., X_n)): X_u... ,X_n -♦ (0,1} ,    (3.84)

gdzie „0” oznacza przyjęcie (brak podstaw do odrzucenia) Ho, a „1” - odrzucenie Ho- Taka interpretacja prowadzi do określenia błędów w teście statystycznym

rzeczywistość [ / decyzja —►	przyjmij H0	odrzuć Ho
Hq prawdziwa	dobrze	błąd I rodzaju
Hi prawdziwa	błąd II rodzaju	dobrze