stat Page resize

Rozdział 3

Statystyka matematyczna

3.1 Podstawowe pojęcia

Statystyka matematyczna opiera się na założeniu, że obserwowane przez nas dane są wynikiem działania pewnego „mechanizmu losowego”. Naszym celem jest właśnie poznanie i zidentyfikowania tego mechanizmu losowego.

Zakładać będziemy, że w naszym doświadczeniu losowym mamy do czynienia ze zmiennymi losowymi X\,    ..., X_n określonymi na pewnej przestrzeni

probabilistycznej, a obserwacje są realizacjami (wartościami, wynikami) tych zmiennych losowych. Zgodnie z ogólną konwencją owe zmienne losowe, określone poszukiwanym przez nas mechanizmem losowym, oznaczać będziemy dużymi literami, zaś zaobserwowane dane (wyniki) - literami małymi. W ten sposób xi = Xi(w) dla pewnego 10 € f2.

W statystyce przyjmujemy, że nie znamy rozkładu prawdopodobieństwa dla przestrzeni Cl, który „rządzi” zachowaniem zmiennych losowych Xi, ..., X_n. Chcemy ów rozkład poznać i zidentyfikować na podstawie naszych danych - czyli obserwacji xi,X2,... ,x„.

Definicja 3.1. Próbką (lub próbą) z rozkładu prawdopodobieristwa o dys-trybuancie F nazywamy ciąg niezależnych zmiennych losowych X\, X₂,..., X_n, takich, że rozkład każdej zmiennej losowej Xf jest oheślony przez dystrybuantę

F dla i = 1,2,...,«.

Dla próby będziemy używać oznaczenia

xux2,.	..,X„~F	(3.1)
xl,x2„.	.,Xn%F,	(3.2)

gdzie iid jest skrótem od independent, identicaUy distributed (niezależne, o jednakowym rozkładzie). Jeśli założymy, że zmienna X ma już rozkład określony dystrubuantą F, to czasami nadużywa się powyższych oznaczeń i zamiast (3.1) stosuje

X_UX₂,...,X»~X •    (3.3)

W podobny sposób, jeśli założymy, że ciąg zmiennych losowych jest próbką z rozkładu normalnego, stosować będziemy skrócony zapis

(3.4)

X_uX₂,...,X_n~N(łr,<?²) ,