stat Page' resize

27

Statystyki! matematyczna

3.2    Model statystyczny

W wielu przypadkach, gdy mowa o nieznanym „mechanizmie losowym”, zakładamy jednak znajomość jego pewnych własności. Na przykład, przy kontroli elementów w fabryce za rozsądne uznamy, że istnieją dwie możliwe wartości procesu kontrolnego - element będzie albo prawidłowy, albo nieprawidłowy. Możemy również założyć, że istnieje pewne prawdopodobieństwo zdarzenia, że element jest nieprawidłowy i wynosi ono np. 9. Niestety, dalej nie wiemy, ile owo prawdopodobieństwo 9 wynosi, a co więcej - tak naprawdę dzięki statystyce chcemy owo 0 znaleźć!

Definicja 3.6. Model statystyczny określamy przez podanie przestrzeni Cl, rodziny rozkładów prawdopodobieństwa {P# : $ € 0} indeksowanych parametrem 0 oraz ciągu zmiennych losowych Xi,X%,..., X_n zwanych obserwacjami.

Rodzina rozkładów prawdopodobieństwa jest doprecyzowanym przez nas „mechanizmem losowym”. Parametr 9 odgrywa rolę etykiety identyfikującej poszczególne rozkłady prawdopodobieństwa. Najogólniej rzecz lynnyąc, naszym celem jest poznanie dokładnej wartości parametru 9. Zakładamy bowiem, że wiemy, iż nasze losowe obserwacje są wynikiem działania pewnego rozkładu prawdopodobieństwa P$, ale nie wiemy, jakie jest to szczególne 9 w naszym przypadku.

Stosowanie parametru 9 i przestrzeni parametrów 0 jest bardzo wygodnym sposobem opisu rzeczywistości. Parametr ten może być bowiem liczbą, np. 9 € [0; 1], jeśli rozważamy prawdopodobieństwo napotkania elementu nieprawidłowego przy kontroli jakości. Może być też czymś znacznie bardziej skomplikowanym, np. elementem z przestrzeni dwuwymiarowej.

Uwaga! W statystyce bardzo często stosuje się oznaczenia (np. dla dystru-buanty) podkreślające związek z parametrem 9. W ten sposób mamy

F_e(x) = P_$(X < x) .    (3.12)

Przykład 3.7. Załóżmy, że w pewnej fabryce przeprowadzono kontrolę jakości n produktów. Przez „0” kodowano wyrób prawidłowy, przez „1” - nieprawidłowy. Zatem Cl = {prawidłowy, nieprawidłowy}™ = {0,1}ⁿ. Przez 9 oznaczmy prawdopodobieństwo, że kontrolowany wyrób jest niepmwidłowy. Wtedy dla pojedynczej obserwacji mamy

p_$(X = x)= 9^Z{ 1 - 9)^l~* ,    (3.13)

gdzie x = 0 lub x = 1. Ponieważ obserwacji jest n, zatem dla całej próbki mamy

P₆(X_l=x_u...X„= x„) =    8*'(1 -.    (3.14)

Przestrzenią parametrów jest tutaj Q = [0; lj.

3.3    Pojęcie statystyki. Statystyka dostateczna

T(X_UX2,...,*«) -

(3.15)

Definicja 3.8. Statystyką naztjwamy dowolną funkcję T, której argumentami są obserwacje, czyli