stat PageA resize

>11

Statystyka matematyczna

W teście statystycznym staramy się przede wszystkim kontrolować błąd I rodzaju za pomocą poziomu istotności a. Dopiero spośród testów, dla których prawdopodobieństwo błędu I rodzaju nie przekracza pewnej ustalonej, małej liczby, możemy wybrać te, które mają możliwie małe prawdopodobieństwo błędu II rodzaju. W tym celu definiujemy funkcję mocy testu. Jeśli

P* (*(T(Xi.....Xn)) = 1) = 1 - m    (3-85)

oznacza prawdopodobieństwo odrzucenia przez test hipotezy zerowej przy ustalonym parametrze 9 € ©, to 1 - (3(9) jest ową funkcją mocy tego testu. Zauważmy, że jeśli 9 € ©o, to 1 — (3(9) jest prawdopodobieństwem błędu I rodzaju, a jeśli 9 € ©i, to (3(9) = P#(ó(T(Xi,... , X_n)) = 0) jest prawdopodobieństwem błędu II rodzaju.

Fakt kontrolowania przede wszystkim błędu I rodzaju wynika z podejścia stosowanego w statystyce. Ponieważ jesteśmy „bardziej przywiązani” do Ho, za Ho przyjmujemy hipotezę, której błędne odrzucenie ma poważniejsze skutki niż jej błędne przyjęcie.

Definicja 3.37. Powiemy, że funkcja 6(T(Xi,...,X_n)) jest testem na poziomie istotności a, jeśli

sup P_$ (6(T(Xi,..., X_n)) = 1) = sup (1 - (3(9)) < a .    (3.86)

0€©o    0€©o

Test 6(T(Xi_t... ,X_n)) jest jednostajnie najmocniejszy na poziomie istotności a, jeśli:

•    6(T(Xi,..., X„)) jest testem na poziomie istotności a,

•    dla każdego testu 6 (T(Xi,... ,X_n)) na poziomie istotności a, mamy

P„ (<S(T(X,,... ,X„)) = 1) > P₉ (ó (T{Xi,... ,X„)) = l) (3.87) dla każdego 9 € ©i.

Innymi słowy, test jednostajnie najmocniejszy minimalizuje błąd II rodzaju spośród wszystkich testów mających określony błąd I rodzaju. W ogólności wskazanie takiego testu, określanego skrótem TJNM, bywa zadaniem bardzo skomplikowanym lub nawet niemożliwym do rozwiązania.

W najprostszym przypadku możliwe jest jednak stworzenie odpowiedniego testu. Załóżmy, że rozpatrujemy następujące hipotezy w naszym teście

Ho : 9 = 9₀ , Hi: 9 = 9i ,    (3.88)

czyli, że nasze hipotezy są proste (jednopunktowe). Załóżmy, że odpowiednim parametrom 0o i 9\ z przestrzeni © przyporządkowujemy rozkłady ciągłe o gęstościach /o i /i, tzn. nasze hipotezy mają postać

H₀:X~fo,Hi:X~fi .    (3.89)

Przy takich oznaczeniach zachodzi