68990 stat PageI resize

49

Statystyka matematyczna

W statystyce opisowej możemy obliczyć odpowiedni estymator kowariancji, zwany czasami kowariancją empiryczną, przy pomocy formuły

(3.126)

Cov(_Xiy) = -    (i, - i) (jij - y)

gdzie n jest liczbą par obserwacji, a (*1,3/1), (*2>S/2)>• ■ •,    jest szeregiem

statystycznym obserwacji dla zmiennych (X, Y). Należy podkreślić, że w przypadku badania zależności zmiennych istotne są pary zmiennych, a nie pojedyncze zmienne. Pary zawierają bowiem niezbędną informację o strukturze zależności pomiędzy zmiennymi. Wzór (3.126) można przedstawić także w postaci

Cov(x,K) =xy-x y ,    (3.127)

gdzie

_ 1

*5,= -

XiVi •

(3.128)

Niestety, interpretacja współczynnika kowariancji nie jest zbyt łatwa, podobnie jak np. wariancji. Ciężko jest bowiem określić, czy duża jego wartość wynika z wysokiego stopnia zależności pomiędzy zmiennymi, czy dużej zmienności jednej albo obu zmiennych. Dlatego wykorzystuje się współczynnik korelacji liniowej Pearsona

^r = ^T(xy) = ^r(Y,x) =

Co^v(X,y>

$x$y

(3.129)

gdzie $x i $y są znanymi nam ze statystykami opisowej odchyleniami standardowymi odpowiednio zmiennej X i zmiennej Y. Jak łatwo zauważyć

^r(X,Y) =

ELi (*■ - *) (»■ - y) >/EŁi (*« -• E"=i (yt - vf

(3.130)

Jeśli wartość r^x.Y) jest bliska 1, to pomiędzy zmiennymi istnieje dodatnia zależność liniowa (wraz ze wzrostem wartości jednej zmiennej, w „liniowy sposób” rosną wartości drugiej zmiennej). Gdy zaś wartość r^x.Y) jest bliska -1, to istnieje ujemna zależność liniowa (wraz ze w^rzrostem wartości jednej zmiennej, w „liniowy sposób” maleją wartości drugiej zmiennej). Jeśli zaś wartość ryt y) jest bliska 0, świadczy to o braku liniowej zależności liniowej pomiędzy zmiennymi. Należy pamiętać jednak, że nie świadczy to o o braku zależności w ogóle - być może istnieje jakaś zależność, opisana w bardziej „skomplikowany sposób”, np. poprzez funkcję kw^radratow^rą, czy wykładniczą. Z tego powodu mówimy wtedy jedynie o braku korelacji pomiędzy zmiennymi, a nie o braku zależności.

Współczynnikowi korelacji liniowej Pearsona, czyli pewnej wielkości opartej na obserwacjach, odpowiada współczynnik teoretyczny, znany z rachunku prawdopodobieństwa - korelacja zdefiniowana wzorem

Corr(X, Y) =

Cov(X,Y)

v/VarX-Var Y

(3.131)

(porównaj z (3.129)).