stat PageU resize

55

Statystyka matematyczna

3.7.5 Losowa zmienna objaśniająca

Przedstawiony wcześniej prosty model regresji można uogólnić. Jednym z takich sposobów uogólnienia jest przyjęcie nie tylko samej zmiennej zależnej Y, ale również zmiennej niezależnej jako zmiennych losowych. W związku z tym będziemy teraz również zmienną niezależną oznaczać dużą literą, czyli przez X.

W ujęciu tym obserwator dysponuje wynikami (w postaci par) doświadczeń losowych (Xi, Yi),..., (X_n,Y_n). Jesteśmy zatem zainteresowani znalezieniem zależności postaci

Y = b₁X + b₀-{-s,    (3.163)

gdzie poszczególne symbole bo, b\, e mają podobne znaczenie co w rozdziale 3.7.2.

Mimo zasadniczej zmiany w sformułowaniu modelu, wyniki pozostają w zasadzie identyczne.

Uwaga 3.46. Przyjmijmy następujące założenia:

1.    (N3) (Xi, Yi),..., {X_n, Y_n) są niezależnymi wektorami losowymi, o jednakowym rozkładzie normalnym N(px, P-Y,    , p) (tzn. poszczególne

pary są do siebie niezależne, zmienna X pochodzi z rozkładu N{px,&\), zmienna Y z rozkładu N(py,^y) ^oraz Cov(X,Y) = qvxvy), lub

2.    (NĄ) (Xi, Yi), ..., (X_n,Y_n) są niezależnymi wektorami losowymi, o jednakowym rozkładzie, przy czym EX = /*x>EY = py , Var X = o\, Var Y = <jy,Cov(X, Y) = qox<*y-

Jak łatwo zauważyć, założenie (N4) jest słabsze.

W modelu (3.163) odpowiednie estymatory parametrów mają postać

6i = ^COV(*’^y) , fe₀ = ? ~ biX .    (3.164)

⁵A'

Są one wyznaczone poprzez minimalizację błędu średniokwadrat owego, czyli minimalizację funkcji postaci

Esr² = E(V - b,X - b_af    ,    (3.165)

co właściwie odpowiada metodzie najmniejszych kwadratów. W szczególności zachodzi twierdzenie

Twierdzenie 3.47. Jeśli w modelu zdefiniowanym przez (3.163), zachodzi założenie (N3), to estymatory (3.164) są estymatorami największej wiarygodności. Test F zmienia teraz trochę postać. Otóż testuje on hipotezę zerową

H₀ :Corr(A",Y) =0    (3.166)

wobec

tfi:Corr(X,Y)^0.    (3.167)

Należy jednak podkreślić, że intuicyjnie odpowiada to tej samej sytuacji - jeśli korelacja jest równa zeru, oznacza to, że nie istnieje liniowa zależność pomiędzy zmiennymi X i Y, czyli &i = 0. W przypadku, gdy spełnione jest założenie (N3) przyjęcie Ho prowadzi do silniejszego wniosku - iż zmienne są w ogóle niezależne.

Jeśli spełnione jest założenie (N3), test F w modelu z losową zmienną objaśniającą wykorzystuje zasadniczo identyczną statystykę testową oraz regułę testową, jak w przypadku modelu z deterministyczną zmienną x.