stat PageS resize

Statystyki! matematyczna

3.7.3 Podstawowa tożsamość analizy wariancji i jej interpretacja

Zachodzi

(Vj-f)²= (fi-P)^ł+ (3-147)

1=1 Ś=1 1=1

co zapisujemy często jako

SST = SSR + SSE , (3.148)

gdzie SST to całkowita suma kwadratów (w j. ang. łołal sum of sguares), SSR - suma kwadratów związanych z regresją (w j. ang. sum of squares of regression), SSE - poznana wcześniej suma kwadratów błędów (tutaj oznaczenie to jest lekko „nadużyte” jako minimalna wartość dla rozwiązania zagadnienia (3.140)).

Wzór (3.147) interpretujemy w następujący sposób: „całkowitą zmienność” zmiennej Y można wyjaśnić na dwa sposoby - jako zmienność „związana z regresją” (a więc „wyjaśnianą” poprzez zmienną x) i jako zmienność „resztową” (czyli nie wynikającą z zachowania się zmiennej x, tylko związaną z innymi czynnikami). Stąd wartość zdefiniowana jako

(3.149)

₂ _ SSR SSE ^K ~ SST ” ¹ SST

nazywana jest współczynnikiem dopasowania i interpretujemy ją jako procentowy wskaźnik zmienności wyjaśnionej „przez regresję”, czyli zaproponowany przez nas model analizy regresji. Zatem im R² jest bliższy jedynce, tym model analizy regresji jest lepiej dopasowany do zaobserwowanych wartości. Co istotne, zachodzi

R² = r² , (3.150)

gdzie r jest poznanym wcześniej przez nas współczynnikiem korelacji liniowej.

3.7.4 Testy związane z analizą regresji

Należy pamiętać, iż samo rozwiązanie zadania minimalizacji (3.140) jest możliwe nawet przy braku zależności pomiędzy zmiennymi. Niezbędne są zatem testy sprawdzające, czy nasz model analizy regresji „jest cokolwiek wart”, tzn. czy zależność funkcyjna pomiędzy zmiennymi istnieje, a nasz model dobrze wyjaśnia rzeczywiste obserwacje.

Test F sprawdza prawdziwość hipotezy zerowej

H₀ : b_x = 0 (3.151)

wobec

(3.152)

Jest to jeden z najistotniejszych testów w analizie regresji. Jeśli bowiem zostanie przyjęta jego hipoteza zerowa, to skoro b\ = 0, z (3.136) otrzymujemy

(3.153)

Y =b₀+e,