stat PageC resize

43

Statystyka matematyczna

dla pewnego ustalonego po    względem hipotezy alternatywnej

Hi-PĆPo    (3.93)

przy założeniu, że obserwacje pochodzą z pewnego rozkładu dwumianowego. Zamiast

P_Ho(\X-npo\>c)=a    (3.94)

dla nieznanego c, gdzie skorzystaliśmy z przybliżenia centralnym twierdzeniem granicznym dla dostatecznie dużego n, możemy zapisać regułę testową inaczej, choć jednocześnie równoważnie. Otóż Ho odrzucamy, jeśli

\X -    npol > *1-0/2N/’fpo(l - po)    ,    (3.95)

gdzie Z\-_a/2 jest kwantylem standardowego rAzkladu normalnego o rzędzie 1 — |. Przy tak sformułowanej regule nie musimy dokładnie wyliczać obszaru krytycznego. Zamiast tego wystarczy obliczyć wartość odpowiedniej statystyki testowej i porównać ją z kwantylem pewnego rozkładu. Takie podejście będziemy często wykorzystywać w następnych testach.

Porównywanie dwóch proporcji / frakcji

Zakładamy, że analizowane dane są realizacjami dwóch zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych z prawdopodobieństwami sukcesu pi i p2 (czyli X ~ Bin(«i;pi) i Y ~ Bin(ri2;p2))- Będziemy weryfikować hipotezę postaci

Hq'Pi=P2    (3.96)

na poziomie istotności a przeciw hipotezie

Hi:piŹP2    (3.97)

Oznaczmy przez ni i n? liczbę danych w pierwszej i drugiej grupie obserwacji (czyli liczebności w odpowiednich rozkładach dwumianowych), a przez k\ i k^ liczby zajść zdarzeń, które „nas interesują”, tzn. tych obserwacji, o których proporcję pytamy się w naszym teście. Na początku obliczamy statystykę

* = (nth - nifcs) ■ /]    ⁺    ^ .    (3.98)

V Ti^ (ki + ki) (ni +ri2 — ki — ki)

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, jeżeli wartość bezwzględna obliczonej statystyki z jest mniejsza od kwantyla standardowego rozkładu normalnego z\-_a. Hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy: P2 > Pi, gdy obliczona statystyka jest mniejsza od —Z(3. Gdy statystyka ta jest większa od Z0, odrzucamy Ho na korzyść hipotezy: pj > P2.

Test Kołmogorowa

Test ten dość ściśle wiąże się z twierdzeniem 3.4 i jest bardzo ważny w praktyce. Pozwala bowiem sprawdzić, czy zaobserwowane dane pochodzą z ustalonego przez nas rozkładu, o który pytamy się w hipotezie zerowej.

Niech F będzie ustaloną, ciągłą dystrybuantą. Hipoteza zerowa ma postać

H₀: X_uX2,...yX_n~F ,    (3.99)