stat PageY resize

59

Statystyka matematyczna

Ze względu na fakt, iż w modelu tym dopuszczamy istnienie wielu zmiennych niezależnych, komplikuje się nieco kwestia współczynników korelacji. Zauważmy bowiem, że jeśli zmienna x.i posiada pewien wpływ na zmienną x.2, a zmienna x.2 na zmienną zależną Y, to zwykły współczynnik korelacji pomiędzy x.i a Y będzie zawierać również „ukrytą” zależność pomiędzy x.2 a Y. W celu ominięcia tego problemu wyliczamy tzw. współczynniki korelacji cząstkowej. Pozwalają one na zbadanie zależności pomiędzy dwoma zmiennymi 2 wyłączeniem wpływu pozostałych zmiennych.

Innemu celowi służy współczynnik korelacji wielokrotnej (wielorakiej). Dzięki niemu możemy określić zależność pomiędzy jedną zmienną objaśniającą x.j a wszystkimi pozostałymi zmiennymi objaśniającymi „na raz”.

Szczególnego znaczenia w regresji wielorakiej nabierają testy hipotez zerowych postaci

H₀ : bi = 0    (3.185)

dla poszczególnych i = 0,1,..., p. Zauważmy bowiem, że test F sprawdza istnienie niezależności pomiędzy zmienną zależną a wszystkimi zmiennymi niezależnymi na raz (jednocześnie). W szczególności jeśli wśród niezależnych zmiennych istotnych pojawi się jedna (lub więcej) zmiennych nieistotnych, test F może nadal odrzucać hipotezę (3.183). Dlatego też każda ze zmiennych x.,- powinna zostać „oddzielnie” przetestowana i jeśli okaże się nieistotna - usunięta z modelu w celu jego poprawy. Ponadto może być przydatne określenie, które ze zmiennych niezależnych mają największy wpływ na zmienną Y. Procedura taka nosi nazwę analizy czynnikowej.

3.7.8 Modele nieliniowe analizy regresji

Oprócz modeli liniowych w analizie regresji rozpatruje się też ogólniejsze funkcje opisujące zależność pomiędzy zmiennymi objaśniającymi a zmienną objaśnianą. Niektóre z nich można zapisać w postaci

K = /(x) + £,    (3.186)

gdzie /(.) jest pewną funkcją jednej lub wielu zmiennych niezależnych.

Modele (3.1S6) daje się czasami, za pomocą pewnych podstawień, sprowadzić do modelu liniowego. Niech /(.) będzie funkcją kwadratową. Wtedy z (3.186) mamy

Y =bzx²+bix + b₀+e .    (3.187)

Jeśli dokonamy podstawienia x.2 = x² i x.i = x, to otrzymujemy

Y = &2X.2 + biz.i -f- bo + € ,    (3.188)

czyli klasyczny liniowy model regresji wielorakiej. Podobną procedurę upraszczania modelu można przeprowadzić dla innych funkcji /(.) będących wielomiar nami.

Inne funkcje (np. wykładniczą) też można spróbować „przełożyć” na język modelu liniowego. Niech

Y = _e^blX+bo+e.    (3.189)

Jeśli zlogarytmujemy obie strony (3.189) otrzymujemy

(3.190)

In Y = &ix + bo + s .