stat Page( resize

28

8.8 Pojęcie statystyki. Statystyka dostateczna

Uwaga! Dokładniej rzecz biorąc, T : X" R, gdzie Xi : fi —* X (czyli X jest zbiorem wartości pojedynczej obserwacji, tzn. pojedynczej zmiennej losowej). Zatem statystyka jest właściwie tym samym, co zmienna losowa. Jednak w znaczeniu różnych funkcji bazujących na obserwacjach i służących do estymacji, czy wnioskowania statystycznego, stosuje się termin „statystyka”.

W następnych przykładach i twierdzeniach przyjrzymy się bliżej różnym przypadkom statystyk.

Przykład 3.9. W przypadku kontroli jakości, jak pamiętamy, mieliśmy

P*(*i =    =    =    .    (3.16)

co możemy zapisać jako

P»(J(i =    ... X„ = x„) = e^k(\ - 9)"-^k ,    (3.17)

gdzie k —    Zatem

K(X u...,X_n)= Xi    (3.18)

i=l

jest przykładem statystyki (liczbą elementów wadliwych w rozważanych przykładzie).

Ponieważ funkcja K sama jest zmienną losową, to jaki jest jej rozkład? Owym rozkładem jest rozkład dwumianowy, co daje

(3.19)

P $(K = k) =

Przykład 3.10. Uporządkujmy nasze obserwacje X\, X2,..., X_n niemalejąco. Oznacza to, że dla każdego o; € O stworzymy z nich ciąg liczb postaci

*!:»(«) < X_2:n(u>) < ... < X_n:n(u>) .    (3.20)

Wtedy takie zmienne losowe Xi_:n, X_2:n,..., X_n:n nazywamy statystykami pozycyjnymi. Jak łatwo zauważyć, pierwsza statystyka pozycyjna spełnia warunek

X_l:n = mm{X_uX₂,...,X_n} ,    (3.21)

a ostatnia statystyka pozycyjna

X_n:n=max{Xi,X₂,...,X_n} .    (3.22)

Twierdzenie 3.11. Niech Xi,X_2}... ,X_n będzie próbą z rozkładu N{p,cr²). Wtedy statystyki

(3.23)

(3.24)

x = -    x₍,s₀² = -^- (x,-xy

ⁿ i= i    ni _i=1

są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach

X-i\x_t~N(_r,$)    1)