14315 stat Page8 resize

38

3.6 Testy statystyczne

gdzie \²(n — 1) oznacza rozkład chi-kwadrat o n — 1 stopniach swobody, zatem

l)So²

*0-/9)!%

Ł)f'

(3.73)

gdzie X(i_j3)/2n-i ^oznacza kwantyl rozkładu chi-kwadrat o rzędzie (1 —/?)/2 i n - 1 stopniach swobody, zaś X(i+£)/2n-i " kwantyl rozkładu chi-kwadrat o rzędzie (1 + /3)/2 i n - 1 stopniach swobody. Stąd przedział ufności ma postać

(3.74)

3.5.4 Wykorzystanie przedziałów ufności

Przedziały ufności mają podwójne zastosowanie. Po pierwsze, jak wynika z samej definicji, możemy ustalić prawdopodobieństwo, z którym interesujący nas parametr będzie znajdował się w przedziale ufności. Oznacza to zatem, że możemy nieco precyzyjniej podejść do problemu estymacji nieznanego parametru. W przypadku estymacji punktowej, otrzymywana przez nas liczba jest oczywiście bliska wartości szukanego parametru, o ile estymator jest przynajmniej zgodny. Niestety, nie umiemy określić jak bardzo jest ona rzeczywiście „bliska”. W przypadku estymacji przedziałowej, możemy zwiększyć poziom ufności /?, co zwiększa nasze szanse na „złowienie parametru”, choć oczywiście poszerza także przedział ufności.

Po drugie, przedziały ufności mogą zostać wykorzystane do testowania prostych hipotez statystycznych, co zostanie omówione w rozdziale 3.6.4.

3.6 Testy statystyczne

Testy statystyczne ogólnie rzecz biorąc, polegają na sprawdzeniu poprawności jakiegoś zdania dotyczącego modelu statystycznego. Jeśli © jest przestrzenią parametrów modelu statystycznego, to możemy być zainteresowani prawdziwością następującego stwierdzenia „na podstawie obserwacji wnioskujemy, że wartość parametru 9 wynosi dokładnie pięć”. Innymi słowy, wyrażamy pewną opinię dotyczącą rozkładu „rządzącego” modelem statystycznym i uwzględniając zgromadzone dane, uznajemy tą opinię za praw^rdziwą (przyjmujemy naszą hipotezę) lub za fałszywą (odrzucamy hipotezę).

Owa opinia nazywana jest hipotezą zerową i oznaczana bywa zazwyczaj jako Ho. Statystycznie utożsamiamy ją z pewnym podzbiorem parametrów modelu ©o C © i zapisujemy w postaci

H_o:0€Qo,    (3.75)

czyli „jest prawdą, że nieznany nam parametr modelu 9 pochodzi z pewnego ustalonego podzbioru parametrów ©o”. Obok hipotezy zerowej istnieje również hipoteza alternatywna, oznaczana jako Hi łub K. Formułujemy ją w sposób następujący

Hi : 9 € ©! ,

(3.76)