stat Page" resize

22

2.5 Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa

Ważniejsze charakterystyki: EX = np, Var X = np(l — p). Tradycyjnie rozkład ten zapisujemy skrótowo Bin(n;p).

Zastosowanie: wielokrotne rzut monetą, kontrola sprawności n elementów na linii produkcyjnej, wielokrotne strzelanie do tarczy (trafienie / pudło).

2.5.3 Rozkład geometryczny

Załóżmy, że wykonujemy niezależne powtórzenia doświadczenia losowego, które ma tylko dwa możliwe wyniki, aż do osiągnięcia sukcesu. Przez p oznaczymy prawdopodobieństwo zajścia sukcesu w pojedynczej próbie. Wtedy liczba wykonanych doświadczeń ma rozkład geometryczny. Niech X będzie rozważaną liczbą prób do momentu zajścia pierwszego sukcesu. Prawdopodobieństwo zdarzenia X = k (czyli na początku nastąpiło k — 1 porażek, a dopiero potem pierwszy sukces) dane jest wzorem

(2.37)

P(X = k) = p(l - p)^fc-1

gdzie = 0,1,... Ważniejsze charakterystyki: E X = 1/p, Var X = (1 — p)/p².

Zastosowanie: liczba rzutów monetą do momentu wypadnięcia pierwszego orla, liczba elementów na taśmie produkcyjnej zanim nie natrafimy na wadliwy, liczba wypełnionych losów TotoLotka, zanim po raz pierwszy nie trafimy „szóstki”.

2.5.4 Rozkład Poissona

Jeśli zmienna pochodzi z rozkładu Poissona, to jej rozkład prawdopodobieństwa opisany jest wzorem

(2.38)

dla k = 0,1,..., gdzie A > 0 jest paramet rem tego rozkładu. TYadycyjnie rozkład ten oznaczamy skrótem Poiss(A). Ważniejsze charakterystyki: EX — A, Var X — A.

Zastosowanie: liczba wypadków, do których doszło w pewnym ustalonym przedziale czasowym, liczba cząstek wyemitowanych przez radioaktywny materiał w pewnym przedziale czasowym, liczba zgłoszeń klientów w sieci w pewnym okresie (np. w ciągu godziny).

Rozkład ten jest ściśle związany z rozkładem wykładniczym.

Jeśli dla ustalonego A stworzymy wykres funkcji f(k) = P(A^r = k) względem k (czyli wykres funkcji prawdopodobieństwa), będzie on malejący, tzn. wraz ze wzrostem k odpowiednie słupki pokazujące prawdopodobieństwo będą coraz niższe.

2.5.5 Rozkład jednostajny (równomierny)

Najprostszy z ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa, oznaczany zazwyczaj skrótem U (a; 6]. Jego gęstość na przedziale [a; 6] opisana jest wzorem

(2.39)