10349 stat Page resize

19

Elementy rachunku prawdopodobieństwa

Jak pamiętamy, dla przestrzeni fl zdefiniowaliśmy wcześniej rozkład prawdopodobieństwa na tej przestrzeni. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest właściwie tym samym. Funkcja rozkładu po prostu „przenosi” prawdopodobieństwo P(.) wcześniej określone przez nas dla przestrzeni fi do nowej przestrzeni R, gdzie „żyje” już zmienna losowa X.

Definicja 2.14. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest to funkcja F : R —► R określona wzorem

(2.21)

F(a) = P(X < a) = P ({w € fi : X(w) < a}) .

Uwaga! W niektórych książkach dystrybuanta jest zdefiniowana przy pomocy nieco zmienionego warunku

(2.22)

F(a)=P(X<«)=P({_W€n:XH<a}) .

Różnica ta, choć czasami istotna obliczeniowo i wpływająca na pewne własności dystrybuanty, nie prowadzi jednak do istotnych zmian „poznawczych”. Należy też pamiętać, iż dystrybuanta jest matematycznie ściśle zdefiniowana, jeśli występujący w warunku zbiór {co € Cl : X(u>) < «} lub {a> € fi : X(u>) < a} jest zdarzeniem losowym. Jak było wspominane wcześniej, dla „sensownych” modeli rozpatrywanych w praktyce, te warunki są spełnione i nie będziemy się tym dokładniej zajmowali.

Ponieważ zazwyczaj zmienne losowe oznacza się przez duże litery, np. X, V, Z, to, w celu uniknięcia nieporozumień, odpowiadające im dystrybuanty oznaczać można odpowiednio przez Fx, Fy, Fz, itd.

Dzięki wprowadzeniu pojęcia zmiennej losowej i dystrybuanty dokończyliśmy „przekształcenie” trójki (fi, F, P) w nową trójkę (R,5r,F„y), gdzie 5r oznacza (T-cialo zbiorów otwartych w dziedzinie liczb rzeczywistych. Od tej pory to właśnie trójka (R,5r,Fy) będzie naszym głównym obiektem zainteresowania.

Przykład 2.15. Rzucamy dwukrotnie monetą. Przez X oznaczmy liczbę wyrzuconych w ten sposób orłów. Jaka jest dystrybuanta zmiennej losowej X ?

Rozwiązanie:

dla a < 0 dla 0 < o < 1 dla 1 < o < 2 dla 2 « o

(2.23)

2.4.1 Rozkład dyskretny zmiennej losowej

Definicja 2.16. Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny, jeśli zbiór jej wartości jest skończony lub przeliczalny (czyli róumoliczny ze zbiorem liczb naturalnych). Zatem dla pewnego zbioru X = {xi,X2,...} mamy P(X € X) = 1.

Zmienną losową X o rozkładzie dyskretnym można w bardzo prosty sposób opisać. Wystarczy podać jakie prawdopodobieństwo jest przyjmowane dla każdej wartości € X, czyli określić

(2.24)

P(X = x_i) = Pi = /(x_i),