Matematyka 2 19

318 V Elementy rachunku prawdopodobieństwu

W zrozumieniu definicji pr-stwa pomaga uświadomienie sobi< że w definicji funkcji nie zakłada się nic o naturze elementów zbioru st nowiąccgo jej dziedzinę W szczególności elementy te mogą być zbu rami (np dziedziną może być zbiór prostokątów, wartościami funkcji -pola tych prostokątów). Funkcję, która zbiorom przyporządkowuje lic; nazywa się funkcją zbioru. Pr-stwo jest taką właśnie funkcją zbioru, kU ra zdarzeniom (a więc zbiorom) przyporządkowuje pr-stw^ra tych zdarzt

Niech zatem Q oznacza PZE oraz cĄ będzie zbiorem zdarz* czyli zbiorem (rodziną) podzbiorów przestrzeni Q Prawdopodohiei stwem (lub rozkładem prawdopodobieństwa) nazywamy funkcję P, która każdemu zdarzeniu A e ęĄ przyporządkowuje liczi P(A) tak. aby spełnione zostały następujące warunki;

Pl° P( A)>0 dla każdego zdarzenia A,

P2° P(Q)= I,

P3° dla dowolnego ciągu parami rozłącznych zdf rżeń A,.A₂,...

P(A,^A_;u-) = P(A,) + P(A₂)+•••

Wartość pr-stwa P dla danego zdarzenia A, czyli liczbę P(A) m się pr-stwem zdarzenia A.

Warunki Pl°. P2°, P3° nazywa się aksjomatami pr-stwa. a sar definicję - aksjomatyczną definicją pr-stwa. Jako taka, podaje w^farui jakie w'inna spełniać funkcja zbioru, aby można było nazw ać ją pr-stwc Nie precyzuje ona konkretnych wartości pr-stwa dla poszczególny zdarzeń (z wyjątkiem zdarzenia pewnego) Konkretyzacja taka jest moi liwa tylko dla poszczególnych dośw iadczeń przez uzupełnienie aksjoi tow dodatkowymi warunkami charakterystycznymi dla rozważanego doświadczenia. Przykładem takiego dodatkowego warunku może być na przykład założenie, że zdarzenia jednoolementow-e są jednakowo prawdopodobne.

Własności prawdopodobieństwa Ze związków

między zdarzeniami i definicji pr-stwa wynikają dalsze własności tego pojęcia sformułowane w następującym twierdzeniu; ich treścią nie są (z jednym wyjątkiem) konkretne wartości pr-stwa poszczególnych zdarzeń. ale wzajemne zależności między nimi.

TWIERDZENIE 2.1. Pr-stwo P ma następujące własności:

PI. Pr-stwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero: P(0) = O

P2. Dla dowolnych zdarzeń A. B pr-stwo różnicy B\A wyraża się wzorem:

P(B\A)=P(B)- P(AnB); w szczególności, gdy A c: B. to

P(B\A)= P(B)-P(A)

P3 Pr-stwo P jest funkcją niemalejącą w następującym sensie: AcB => P(A)<P(B).

P4. Pr-stwo P jest funkcją o wartościach z przedziału domkniętego <0;l>. czyli dla każdego zdarzenia A

0£P(A)£l.

P5. Jeżeli zdarzenia A,, A,.....A„ są parami rozłączne, to

P(A_luA₂u-wA_B) = P(A,)-fP(Aj)+- + P(A_n).

P6Jeżeli zdarzenia A,,A₂.....A„ tworzą układ zupełny zdarzeń, to

P(A₁)+P(A₂)+-+P(A„) = I.

P6'. Suma pr-st\s zdarzeń przeciwnych jest równa jedności: P(A)+P(A‘)*I.

P7. Pr-stwo alternatywy dowolnych zdarzeń A, B wyraża się równością:

P(AuB) = P(A)-fP(B)-P(AnB).

PT Dla dowolnych zdarzeń A. B, C P(A u BuC) = P( A)+ P(B) + P(C) -P(AnB)-F(Ar»C>P(BnC)+P(A^ BnG)

P8. Dla dowolnych zdarzeń A,.A₂,...,A„

P(A₁wA₂o-^A₀)<P(A,)4-P(A₂)+- + P(AJ

P9 Jeżeli: 1) PZE Q jest skończona Q= {a)_l,w₂,...,u) J albo

przeliczalna Q= {co_|łO)₂.....o>_n,...} oraz 2) określone są pr-stwa a, z.da-

rzeń jcdnoclementowych P({w_iJ) = a_t. i= 1,2.....n lub i* 1,2.....n,...,

gdzie odpowiednio

a,+a₂+*-+a„ = l lub a, +a₂-*---+a_n +••-= 1,

¹⁰ pr-stwo dowolnego zdarzenia A. któremu sprzyja k zdarzeń elementar-ⁿych, A = {w _l( ,(d . .....o ,_k}. wyraża się równością: