340 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwu
Punktami skokowymi x, ZL X są punkty nieciągłości dystrył anty, tj punkty -2. 0. 2, 3. Skoki p, = p(x,) = P(X = xj) znajdujemy na podstawie własności F6 dystrybuanty Na przykład:
p j = p( 0) = P( X = 0) = F( 0*) - F(0) = 0.4 - 0.2 = 0,2 Analogicznie otrzymujemy: p, = p(0) = P( X = -2)=0.2. p3 = P(X = 2) = 0.4. p4 = P( X = 3) = 0,2. ]
Jak zwykle wyznaczoną funkcję pr-stwa zapisujemy w postaci tabeli:
X, |
1 2 |
0 |
2 |
3 |
p, |
1 0.2 |
0.2 |
0,4 |
0,2 |
PRZYKŁAD 3.8. Dana jest dystrybuanta F ZL X, (por
rys.3.8),
r. . ]0 dla x<0 ^ * I l-e'3' dla x>0.
a) Sprawdzimy, że X jest ZLC i wyznaczymy jej GP f.
b) Obliczymy pr-stwo P(X>-j) korzystając tylko z dys‘ anty i podamy jego interpretację na wykresie dystrybuanty i GP f.
Rys 3.8
Rys 3.9
u) Dana dystrybuanta jest funkcją róźmczkowalną na całej osi 7 wyjątkiem punktu x = 0:
F'(x) = 0 dła x<0 oraz F'(x)=3e lx dla x>0.
Funkcja
0
dla x < 0
była dystrybuantą: a) ZLC. b) ZLS.
a) Funkcja F jako dystrybuanta ZLC jest ciągła (obustronnie) na całej osi, a więc również w punktach x = 0 i x = 1:
\->Ch
lim F(x)=F(l)o lim l = F(l)ol = a-l + boa=l.
jest postaci (3.11) i spełnia warunek unormowania (3.6). Zatem zgod
nie z twierdzeniem 3.4. X jest ZLC o GP f. (por. rys.3.9).
b) Suma pr-stw zdarzeń przeciwnych jest równa jedności, zatem
l>(X>i) = !-I’(Xsi)=l-P(X<|)=l-r(i) = c-' *0.368 ■
PRZYKŁAD 3.9. Dobierzemy tak stałe a i b aby funkcja F dana wzorem
lim F(x)»F(0)c* lim (ax + b)=F(0)oa-0+b = 0ob = 0,
Jeśli zatem F ma być dystrybuantą ZLC, to należy przyjąć a= 1, b = 0
b) Funkcja F jako dystrybuanta ZLS musi być przedziałami stała. Dlatego w tym przypadku należy przyjąć a = 0 Jest też zrozumiałe, że b może być dowolną liczbą z przedziału <0,1>. Zatem, jeśli a=0. b €<0.1 >. to dana funkcja F jest dystrybuantą ZLS. ■
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA
1. Dana jest funkcja pr-stwa ZL X:
X, |
I 1 |
3 |
5 |
7 |
10 |
Pl |
1 OJ |
0,1 |
c |
0,2 |
0,3 |
Wyznaczyć: a) stałą c. b) wykres i histogram funkcji pr-stwa,
c) dystrybuantę i jej wykres, d) pr-stwa: p, = P(X = 3) ,p; = P( X = 2). p, = P(X<7)t p4 = P(X<IO). p5 = P(X>3), p6 = P(3<X<7), p7 = P(-5<X<7). ps = P(|X-5|<3), pf=P(|X-3j>l) dwiema metodami korzystając: 1) tylko z danej funkcji pr-stwa oraz 2) z N*7zna-czonej dystrybuanty; znalezione pr-stwa p, zaznaczyć nu rysunku z wykresem dystrybuanty