Matematyka 2 41

Matematyka 2 41



340 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwu

Punktami skokowymi x, ZL X są punkty nieciągłości dystrył anty, tj punkty -2. 0. 2, 3. Skoki p, = p(x,) = P(X = xj) znajdujemy na podstawie własności F6 dystrybuanty Na przykład:

p j = p( 0) = P( X = 0) = F( 0*) - F(0) = 0.4 - 0.2 = 0,2 Analogicznie otrzymujemy: p, = p(0) = P( X = -2)=0.2.    p3 = P(X = 2) = 0.4.    p4 = P( X = 3) = 0,2. ]

Jak zwykle wyznaczoną funkcję pr-stwa zapisujemy w postaci tabeli:

X,

1 2

0

2

3

p,

1 0.2

0.2

0,4

0,2

PRZYKŁAD 3.8. Dana jest dystrybuanta F ZL X, (por

rys.3.8),


r. . ]0 dla x<0 ^ * I l-e'3' dla x>0.

a)    Sprawdzimy, że X jest ZLC i wyznaczymy jej GP f.

b)    Obliczymy pr-stwo P(X>-j) korzystając tylko z dys‘ anty i podamy jego interpretację na wykresie dystrybuanty i GP f.

Rys 3.8

Rys 3.9


u) Dana dystrybuanta jest funkcją róźmczkowalną na całej osi 7 wyjątkiem punktu x = 0:

F'(x) = 0 dła x<0 oraz F'(x)=3e lx dla x>0.

Funkcja


0


dla x < 0


była dystrybuantą: a) ZLC. b) ZLS.

a) Funkcja F jako dystrybuanta ZLC jest ciągła (obustronnie) na całej osi, a więc również w punktach x = 0 i x = 1:

\->Ch

lim F(x)=F(l)o lim l = F(l)ol = a-l + boa=l.


jest postaci (3.11) i spełnia warunek unormowania (3.6). Zatem zgod


nie z twierdzeniem 3.4. X jest ZLC o GP f. (por. rys.3.9).

b) Suma pr-stw zdarzeń przeciwnych jest równa jedności, zatem


l>(X>i) = !-I’(Xsi)=l-P(X<|)=l-r(i) = c-' *0.368 ■


PRZYKŁAD 3.9. Dobierzemy tak stałe a i b aby funkcja F dana wzorem


lim F(x)»F(0)c* lim (ax + b)=F(0)oa-0+b = 0ob = 0,

Jeśli zatem F ma być dystrybuantą ZLC, to należy przyjąć a= 1, b = 0

b) Funkcja F jako dystrybuanta ZLS musi być przedziałami stała. Dlatego w tym przypadku należy przyjąć a = 0 Jest też zrozumiałe, że b może być dowolną liczbą z przedziału <0,1>. Zatem, jeśli a=0. b €<0.1 >. to dana funkcja F jest dystrybuantą ZLS.    ■

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1. Dana jest funkcja pr-stwa ZL X:

X,

I 1

3

5

7

10

Pl

1 OJ

0,1

c

0,2

0,3

Wyznaczyć: a) stałą c. b) wykres i histogram funkcji pr-stwa,

c) dystrybuantę i jej wykres, d) pr-stwa: p, = P(X = 3) ,p; = P( X = 2). p, = P(X<7)t p4 = P(X<IO). p5 = P(X>3), p6 = P(3<X<7), p7 = P(-5<X<7). ps = P(|X-5|<3), pf=P(|X-3j>l) dwiema metodami korzystając: 1) tylko z danej funkcji pr-stwa oraz 2) z N*7zna-czonej dystrybuanty; znalezione pr-stwa p, zaznaczyć nu rysunku z wykresem dystrybuanty


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Matematyka 2 59 358 V. Elementy rachunku prawdopodobieństw! TWIERDZENIE 4.2. Wariancja ZL ma następ
Matematyka 2 89 388 V Elementy rachunku prawdopodobieństwa PRZYKŁAD 7.10. ZL X i Y z przykładu 7.4
Matematyka 2 37 336 V. Elementy rachunku prawdopotliibicństwa Jeśli X jest ZLS o punktach skokowych
Matematyka 2 17 316 V Elementy rachunku prawdopodobieństwa Mówimy, Ze zdarzenia A,,A2,... są parami
Matematyka 2 19 318 V Elementy rachunku prawdopodobieństwu W zrozumieniu definicji pr-stwa pomaga u
Matematyka 2 21 320 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa 320 V. Elementy rachunku prawdopodobień
Matematyka 2 23 322 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa 3) Określamy pr-stwo 1*. tj. każdemu zd
Matematyka 2 25 324 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa 324 V. Elementy rachunku prawdopodobień
Matematyka 2 35 334 V. Elementy rachunku prawdopodobieństw yy x, O X, X O X Rys 3.2. Rys 3.3. GP 7.
Matematyka 2 43 342 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwu 2. Dana jest dystrybuanta ZLS X: X
Matematyka 2 45 344 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa j) «*) = k)f(x) = I) f(x) = 0 f(x)= 1/2
Matematyka 2 49 348 V Elementy rachunku prawdopodobieństwa 10 F(x)= 0    dla
Matematyka 2 51 350 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa 350 V. Elementy rachunku prawdopodobień
Matematyka 2 53 352 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwu 352 V. Elementy rachunku prawdopodobień
Matematyka 2 55 354 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa D o w 6 d. Ograniczymy się do dowodu pi
Matematyka 2 67 366 V. Elementy rachunku prawdo/Hniobicństwa (porażka). Zatem wszystkie ZL X, mają
Matematyka 2 69 368 V. Elementy rachunku prawdopodobieństw a PRZYKŁAD 5.3. W ramach wyrywkowej kont
Matematyka 2 71 370 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa Stąd łatwo wyznaczamy (wyznaczyć) dystr
Matematyka 2 73 372 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwu ZL U o rozkładzie normalnym z wartością

więcej podobnych podstron