Matematyka 2 69

368 V. Elementy rachunku prawdopodobieństw a

PRZYKŁAD 5.3. W ramach wyrywkowej kontroli jakości produkcji z partii 2000 sztuk losujemy ze zwrotem 80 sztuk. Obliczymy przybliżoną wartość pr-slwa tego, że wśród tych wylosowanych sztuk znajdą się co najwyżej dwie sztuki wadliwe, jeśli w całej partii było 40 takich sztuk.

Mamy tu do czynienia ze schematem n = 80 prób Bcmoulliego. Jednak obliczanie pr-stw według wzoru Bcmoulliego dla n=80 byłoby bardzo kłopotliwe. Dlatego posłużymy się przybliżeniem Poissona (5.8). Mamy tu:

^{P =} 25oÓ^=0,02<0-1' ^n=80250'    ⁿP = 80-0,02 = 1,6< 10,

P(S„<2)=P(S„=0) ₊ P(S„ = l)+P(S, = 2) = e-“    +

_+e-l.‘M.₊e'¹-‘<!^i=₃,8g._e-^|‘ « o,78.

Zatem interesujące nas pr-stwo wynosi 0,78.    ■

Zmienna o skokowym rozkładzie równomiernym. Mówimy, że ZLS X ma skokowy rozkład równomierny,

jeśli ma ona skończoną liczbę punktów skokowych • x,<x₂<-..<x_n i wszystkie skoki równe. Jej funkcja pr-stwa i dystrybuanta są zatem postaci:

	1 ^x‘	X2	•	^Xn
p,	| I/"	1/n		l/n

*	(-O0,x,>	(x,,x2>	(x2,x3>		(xn.,.xR>
F(x)	o	l/n	2/n		(n-l)/n	1

Wartość oczekiwana i wariancja ZL X o skokowym rozkładzie równomiernym wyrażają się wzorami:

(5.9) nx=j-£x„ VarX = J-£(x,-EX)^J.

i=ł    i=l

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

1. Wyznaczyć maksymalną wartość wariancji ZL o rozkładzie: a) zero-jedynkowym z parametrem p, b) dwumianowym b(n.p)

2 W stałych warunkach pr-stwo odebrania sygnału radiowego wynosi 0,8. Wyznaczyć pr-stwo, że pięciokrotnie nadany sygnał zostanie odebrany co najmniej dwa razy.

3.    ZI. X i Y mają rozkłady dwumianowe odpowiednio b(4;0,5) i b(8;0,5). Która z liczb P(X = 3), P( Y = 5) jest większa?

4 ZL X,.....X< są niezależne i mają ten sam rozkład zero-jedynkowy z

parametrem p = 1/5- a) Znaleźć rozkłady ZL S_k =X|+...-t-X_k k = 2,3.4,5. h) Obliczyć pr-stwo P(X, +X, + X_S = 1).

5.    Na ten sam obiekt wystrzelono serię 5 pocisków. Pr-stwo trafienia celu jednym pociskiem wynosi U,8. Niech X oznacza liczbę trafień celu. Obliczyć P(X£3).

6.    Z partii towaru o wadliwości 1% wylosowano ze zwrotem 200 sztuk towaru Obliczyć pr-stwo. że wśród wylosowanych sztuk znajdą się:

a) dwie wadliwe sztuki towaru, b) co najwyżej dwie wadliwe sztuki towaru.

Odpowiedzi

I a) 1/4. b) n/A. 2. X - liczba odebranych sygnałów. X-b(5:0.8). P(X£2) =

= l-P(X = 0)-P(X = l)*0.41    3. P( X = 3) = 0.25 > P( Y = 5) * 0,22

4.    o) S_k - tyk; 1/5), k = 2.3.4.5.b) S,-b(3;l/5). P(Sj = l) = (j)(0.2)^,(0.8)² =03«4

5.    X~b(5.0,K). P(X>3) =>0.2O48-f0.4096+0.32768»0.94

6 X- l’o(2). a)e-'2^J/2’»0.27. b) P(Xś2)=»P(X-0)+ P(X = 1)4 P(X-2)«0,67

6. NIEKTÓRE CIĄGŁE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA.

ZMIENNA O ROZKŁADZIE PROSTOKĄTNYM Mówimy, że ZLC X ma rozkład prostokątny (równomierny, jednostajny) na

przedziale (a.b), co zapisujemy X~R(a,b), jeśli jej GP f wyraża się wzorem (rys 6.1):

(6.1)

dla a<x<b

0 dla x<a v x£b.