Matematyka 2 49

348 V Elementy rachunku prawdopodobieństwa

10 F(x)=

0    dla xSI,    p| =F(c) = l-Vc,/2ai0.176,

xłnx- x-l dla l<x<c,

1    dla x>c    p₂ = P(X>Ve)=Ve/2*0,824,

X	(-cC,-I>	<-l*0>	(O.I>	(!.♦«>
F(x)	0	(x+l)^2/2	(-x^2 f2x*l)/2	1

J)

X		(-l.0>	|0.1>	(l.-KC)
F(x>	0	(x + l)/2	(x^2 ł l)/2	1

P₂=I/H

p, =p, = 1/2. P:=5/8

k) x	(-*.0>	(0.1 >	<U>	(2,-kc)
F(*)	0	*/2	x^2/2- x »1	1

P,=.V8. p₂=Pl£<X<^-)=l-n/l2*0.738. P,-l-p, =5/8 o o

X		(-L0>	(0,1 >	0.**)
F(x)	0	(x + l)/2		1

Pi "L P; = 1/2, PJ =9/16.

I) F(x»-

0    dla xS-2.

•^■ +—arcsm4 dla -2<x<2. 2 k 2

dla *>2,

Pt-1/2.

P2 * 1/3

1U Korzystamy / tw. 3.3, wzór (3.11),

<²

10 dla x*h

a) f(x)=J V^x" ^dl* ^x>l-

b) f(*)«|'/^x2 db l^X >2* ^{1 1}    |0 dla |x;S2;

c) f(x) =

1/2 dla -l<x<0, x dlu 0<x<l,

0 dla |x|£l;

d) f(x)’

c) f(x)=-₇L=c'^,2^_> xeR;

•JlK

x(9x^:-^l) 1

0 r(x).

Va² - x‘

dla |x}< a. dla |x|2a

11.    a) tak. b) tak. c) nic, d) tak. e) nie

12.    •)(!). (2), (4).

b) (2). x.	1 •	e
P,	1 °-^5	0.5

c) (D. f<x)=jo^X jl* ^^X<v^Cx^_c; (4) jcsl dyslrybuamą tzw, ZL skokowu-ciągłcj.

13 a) a = 0 dla F. a - I i b = 0 dla O; b) a ■= 1/4 dla F, a -1 i b = - I dla G

4. CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE ZMIENNYCH LOSOWYCH.

Zmiennym losowym przyporządkowuje sit; pewne liczby, które charakteryzują te zmienne pod różnymi wzglądami, np. wielkości rozrzutu ich wartości. Liczby te nazywa sią charakterystykami liczbowymi ZL.

Charakterystyka liczbowa ZL nazywa sią miarą położenia, jeśli ma następującą własność: dodanie stałej do ZL powoduje dodanie tej stałej do tej charakterystyki. Charakterystyką liczbową nazywa się miarą rozrzutu (rozproszenia), jeśli dodanie stałej do ZL me zmienia wartości tej charakterystyki.

Ograniczymy się do omów ienia dwu najważniejszych miar położenia - wartości oczekiwanej i kwantyli oraz dwu najważniejszych miar rozrzutu: wariancji i odchylenia standardowego. Inne charakterystyki, to m.in.- rozstęp, współczynnik asymetrii, odchylenie przeciętne, współczynnik zmienności, momenty.

WARTOŚĆ OCZEKIWANA. Poznawanie lej charakterystyki rozpoczniemy od prostego przykładu wprowadzającego nas w zagadnienie.

PRZYKŁAD 4.1. W sklepie znajduje su; 10 sztuk io*aru po cenie 2 A za sztukę i 90 sztuk po cenie 8 zl za sztukę (od innego dostawcy). Interesuje nas przeciętna (oczekiwana) ccn3 jednej sztuki, tj taka cena. przy której sklep uzyskałby zn 100 sztuk ■owart! taki sam przychód juk przy Taktycznych cenach. Zrozumiale, ze nic wynosi ona (2-8)/2=5zL Poprawną pr/ecięiną cenę otrzymamy obliczając przychód za obydwa

rodzaje iowuru i dzieląc go przez 100:

15

Fyły)-

0 dla y<0

2

l-e^-> dlay>0.

r_v(y)=

0 dlaySO 2ye"^ł dlay>0.