Matematyka 2 71

370 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa

Stąd łatwo wyznaczamy (wyznaczyć) dystrybuantę F(x), wartość oczekiwaną EX i wariancję VarX ZL X o rozkładzie równomiernym R(a,b):

		0 dla	x<a
	F(x) =	x-a „ r- dla b-a	a < x < b
		1 dla	x>0.
(6.2)	EX = ^(a + b).	VarX = -

Rys 6.1.

Jeżeli uwzględnimy, że rozkład prustokąiny R(a.b) można Interpretować w fizyce Jako ciągły rozkład masy jednostkowej na przedziale (n.b) ze stalą gęstością liniową masy p(x)= l/(b- a). to wzory (6.2) stają >iq oczywiste. Pierwszy z nich, to współrzędna środka masy jednorodnego pręta pokrywającego przedział (a.l>). drugi - to moment bezwładności względem osi prostopadłej do pręt3 i przechodzącej przez |eęo środek.

Zmienna losowa o rozkładzie prostokątnym R(a,b) jest;

1)    modelem dla zagadnień, w których można założyć, że pr-stwo utrzymania wyniku obserwacji w danym przedziale (x,.x₂)cr(a,b) jest proporcjonalne do długości x - x, tego przedziału i nie zależy od jego położenia w przedziale (a,b);

2)    ciągłym odpowiednikiem ZL o skokowym rozkładzie równomiernym (gdzie jak wierny, wszystkie punkty skokowe x, są jednakowo prawdopodobne).

ZMIENNA o ROZKŁADZIE W YKLADMCZYM. Mówimy, że ZLC ma rozkład wykładniczy z parametrem )., ),>(). co zapisujemy X - Cx(/.), gdy jej GP jest postaci (rys. 3.9 dla /* = 3):

dla x<0 dla x > U

16.3)

Stąd otrzymujemy postać jej dystrybuanty (rys 3.X dla >. = 3):

o    dla x < 0

F(x)

l-e"^a dla x>0

oraz wartość oczekiwaną i wariancją (por. przykłady 4.5 i 4.9):

(6.4)    EX=l/Ji, VarX= |/X³.

Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym Ex(A.)jest ^w teorii niezawodności modelem dla czasu bezawaryjnej pracy między dwoma kolejnymi uszkodzeniami.

ZMIENNA O ROZKŁADZIE NORMALNYM. Mówimy, że ZLC X mu rozkład normalny (rozkład Gaussa) 7 parametrami (p.tr), u - dowolne. <r >0, co zapisujemy X - N(p.cr). gdy jej GP f jest postaci

(6.5)    f(x)=—7=»e ^: °* , -qc<x<».

Ov 2n

Wykres tej GP nazywa się krzywą normalną lub krzywą Gaussa. Wpływ parametrów \i i a na kształt i położenie krzywej normalnej ilustrują ry sunki 6.2 i 6.3.

Krzywa normalna mu następujące własności: I) jest symetryczna wzglądem prostej x = p, 2) dla x = p ma maksimum równe l/(a-/2n)=^: *0,4/a.    3) oś 0x jest jej asymptotą poziomą w    4) x, = (.i-a.

x₂ = p+ct są odciętymi jej punktów przegięcia. 5) jest wypukła ku górze w przedziale (p-a.p+o). dla pozostałych x jest wypukła ku dołowi.

Parametry p i a mają następującą interpretację probabilistyczną: M jest wartością oczekiwaną, o jest odchyleniem standardowym ZL X o rozkładzie N(p.a):

(6.6)    p = EX, a = DX, czyli a² = VarX.