Matematyka 2 25

324 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa

324 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa

dwie sztuki towaru z pani i składającej się z siedmiu sztuk dobrych i trzech wadliwych. Wykrycie wad przy zakupie nie jest możliwe Znr dzietny pr-stwo, że i tym razem nie ominie jej maksymalny pech.

Niech dla i = 1.2, A oznacza zdarzenie - "i-ta zakupiona sztu! jest wadliwa", oraz niech C będzie zdarzeniem - "wszystkie zakupio sztuki są wadliwe" Oczywiście C = A₍oA₂, więc. zgodnie z wzo (2.3), mamy:

_3_ 2₌J_ 10 9 15'

P(C)=P(A,nA₂)=P( A,)P( A₂jA,)=-~

Pr-stwo koniunkcji trzech zdarzeń A, B. C przy założeniu, że P(A o B) > 0 wyraża się następującym wzorem:

(2.4)

P( A O B^C)= P( A) P( BjA )• P(QA o B).

Równości (2.3) i (2.4) metodą indukcji uogólnia się na przypade dowolnej skończonej liczby zdarzeń Prawdziwe jest mianowicie następ jące

TWIERDZENIE 2.2 (o pr-stwie koniunkcji n zdarzeń). Pr-stwo koniunkcji n zdarzeń jest równe iloczynowi pr-stwa jednego z tych zdarzeń przez pr-stwa warunkowe pozostałych zdarzeń obliczone przy warunku, żc zaszły wszystkie poprzednie zdarzenia:

(2.5) gdy P(A, oA₂r\...r»A_n_,)>0, to P(A,riA₂o...oA_n ) =

= P(A,)-P<A₂|A₁)-P(A₃|A,nA₂)-...-P(A_n|A₁r',A₂n...oA_n_₁).

PRZYKŁAD 2 4. Dla danych z przykładu 2.3 znajdziemy pr-stwo, że wśród trzech kupionych sztuk wszystkie będą wadliwe. Zachowując oznaczenia z przykładu otrzymujemy:

P(C)=P(A₁nA₂nA₃)=P(A_l)P(A₂|A,)P(A_J|A_lr.A_J)='i|4

10 9 8* 120*

PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZUPEŁNE. Obliczenie pr-stwa zdarzenia A może niekiedy ułatw ić następujące

TWIERDZENIE 2.3 (o pr-stwie zupełnym). Jeżeli zdarzenia

A,,A,.....A„ tworzą układ zupełny zdarzeń (por. rys 2.2) i mają dodatnie

pr-stwa. P(A,)>0, to pr-stwo dowolnego zdarzenia A wyraża się wzorem (wzorem na pr-stwo zupełne, całkowite):

(2.6) P(A) = P(A,)P(A |Aj) + P(A₂)P(A |A₂) + ... +P(A_n)P( A |A„)

PRZYKŁAD 2.5. Urządzenie może pracować w dwojakiego rodzaju w-arunkach: normalnych albo trudnych. Warunki normalne obserwuje się w 70% wszystkich przypadków pracy urządzenia, warunki trudne - 30%. Pr-stwo awarii urządzenia pracującego w warunkach normalnych w czasie T wynosi 0,1; analogicznie pr-stwo dla urządzenia pracującego w warunkach trudnych jest równe 0,4. Obliczymy pr-stwo awarii urządzenia w czasie T.

W tym celu rozważamy zdarzenia:

A, - urządzenie będzie pracować w warunkach normalnych,

A₂ - urządzenie będzie pracować w warunkach trudnych.

A - urządzenie ulegnie awarii w czasie T.

Zdarzenia A,,A₂ spełniają założenia ostatniego twierdzenia, więc na podstawie (2.6), mamy:

P(A)= P(A, )P(A |A,)+P(A₂)P( A |A₂)=0.7*0,1+0,3*0,4=0,19.    ■

T\VIFRDZENIF BAYESA. Pozostając przy założeniach ostatniego twierdzenia załóżmy, żc zdarzenie A zaszło. Musiało ono zajść łącznie z jednym spośród zdarzeń A,. A₂,....A_n. Interesujemy się pr-stwem warunkowym P(A_k|A) tego, Ze tym zdarzeniem było zdarzenie A_k.

TWIERDZENIE 2.4 (twierdzenie Baycsa). Jeżeli zdarzenia

A,. A_:.....A_n o dodatnich pr-stwach tworzą układ zupełny zdarzeń oraz

zdarzenie A ma również dodatnie pr-stwo, to

dla k = l.2,...,n,

gdzie P(A) dane jest wzorem (2.6).

Dowód Dwukrotnie stosujemy wzór (2.3) na pr-stwo koniunkcji dwóch zdarzeń;

P(A_knA)=P(A_k)*P(A|A_k) P(A_knA) = P(A)P(A_k|A)

'}=> P(A_k )I>(A |AJ= !•< A)P(A_k|A)=> wzór (2.7).    U