Matematyka 2 59

358 V. Elementy rachunku prawdopodobieństw!

TWIERDZENIE 4.2. Wariancja ZL ma następujące własności (X,V - ZL dowolnego typu, dla których istnieją wariancje, a. b, c - dowolne stałe) VI, V2, V3, V4, V5:

VI. Wanancja ZL jest liczbą nicujcmną, VarX2sO. Przy tym wariancja jest równa zero, VarX=0, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała c taka, ze P(X = c)=l, tj gdy ZL X ma rozkład jednopunktowy.

V2. Var(aX) = a²VarX, Var(X + b) = VarX, Var(aX+b) = a^:VarX.

V3. VarX = E(X-c)²-(c-EX)², VarX= EX^:-(EX)².

V4. VarX£ E(X-c)²; równość zachodzi tylko dla c=EX.

V5. Var(X±Y)=VarX+VarY. gdy ZL X i Y sąn i e z a I e t n e. \

Dowód. Przeprowadzimy dowody tylko własności V2 i V3. Będziemy przy tym wykorzystywać poznane juZ własności wartości o-czekiwanej.

Ad V2. Var(aX + b) = E((aX + b) -E(aX + b)]² = (własność E2) =

= E[aX + b - aEX- b]² = E[a( X - £X)]² = E[a² (X - EX )²)=

= | własność E2 | = a²E[X-EX]-’ = a²VarX.

Pozostałe dwie równości otrzymujemy przyjmując odpowiednio b = 0 oraz a = l.

Ad V3. Korzystając, jak dotychczas z odpowiednich własności wartości oczekiwanej i wykorzystując tożsamościowe przekształcenia, otrzymujemy

VarX = E(X-BX)² = E[(X-c)-(EX-c)J² =

= El(X-c)^!-2(EX-c)(X-c)+(EX-c)^!]=

= E(X-c)²-2(EX-c)E(X-c)+E(EX-c)² =

= E(X-c)² - 2(EX-c)(EX-c)+(EX-c)² =

= E(X-c)^j-2(EX-c)²+(EX-c)² = E(X-c)²-(c-EX)‘ Przyjmując teraz c = 0 otrzymujemy drugą własność V3.

postać:

(4.10)

Uwaga 1 Własności V3 dla ZLS przyjmują odpowiednio VarX=5>,-c)²p,-(c-EX)².

»,eW

(4.11)    VMX=2>,^JPi-(EX)³.

*,eW

Uwaga 2. Przy obliczeniu wariancji ZLC najlepiej jest wykorzystać drugą własność V3 wariancji, która w tym przypadku przyjmuje

postać:

oc

(4.12)    VarX= jx²f(x)dx-(EX)².

-OD

PRZYKŁAD 4.8. Obliczymy wariancję ZLS X, gdy:

a)    jej funkcja pr-stwa jest postaci: (5;0,2), (10;0_f4), (20;0,3),

(25:0.1)

b)    jej funkcja pr-stwa jest postaci (por. przykład 4.3):

Pk = P( X = k) = p( I -p)*"¹,    k = l,2.....

a)    Obliczamy przede wszystkim wartość oczekiwaną:

EX = 2x_Ip_l=⁵-⁰.2 + ^I O-O,4+200,3+250,1 = 13.5.

Aby mieć porównanie "uciążliwości rachunkowych" przy obliczaniu wariancji i aby ich uniknąć w przyszłości, wykorzystamy kolejno wszystkie trzy w*zory (4.8), (4.10), (4.11):

4

VarX={ wzór(4.S) [ = ^(x,-13,5)^;p,=(5-13,5)-’ 0,2+(10-13,S)² 0,4 +

I-I

+{20 -13,5)² • 0,3+(25 -13.5)² • 0,1 = - =42,25.

4

V:irX = \ wzór (4 10) dla c= 14 \=£(x, -14)² p, - (14 -! 3.5)^: =

i*i

»9² 0.2+4² 0.4+6² 0,3+11² 0.1 -(-0.5)² =45,5- 0,25=42.25.

4

VarX = { wzór(4.11) l = £x?p,-(13,5)* = 250,2+1000.4+400-0,3+

i=i

+625-0,1-182,25=227,5-182,25=45,25.

Wydaje się, że w tym elementarnym przykładzie można zalecić stosowanie wzoru (4.10).

b)    Wartość oczekiwaną EX = l/p obliczyliśmy w- przykładzie 4.3 Drugą własność V3 wariancji sprowadzamy do postaci:

VarX = EX² —(EX)^J = EX(X-1)+EX-(EX)² = KX(X- 1)+J---y.

P p²