Matematyka 2 51

350 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa

2 10*8 90 100

Widzimy, ze przeciętna cena uwzględnia nie tylko poszczególne ceny k, - 2. k₂ - 8 alt

również częstości pi =10/100, p₂ -90/100 : jakimi te ceny występują.

Wartością oczekiwaną (wartością przeciętną, wartością średnią) ZLS X o punktach skokowych x, i skokach P, = P( x,) = P(X = X;) nazywamy liczbę EX określoną wzorem:

«,«w

(4.1)

pod warunkiem, żc w przypadku przeliczalnej liczby punktów skokowych, szereg po prawej stronie jest bezwzględnie zbieżny

Bezwzględna zbieżność zapewnia jednoznaczność określenia liczby HX. Jeśli bowiem szereg po prawej strome wzoru jest tylko warunkow o /bieżny, to jego zbieżno^ a w przypadku zbieżności • jego suma. zależy od porządku wyrazów (a więc od sposobu numeracji wartości ZL) i dlatego przyjmuje się. żc w tym przypadku nie istnieje wartość oczekiwana ZL.

Wartość oczekiwana ma prostą interpretację fizyczną Wzór (4.1), jeśli uwzględnić warunek unormowanie (3.2). można zapisać w postaci:

Wynika stąd. żc: wartość oczekiwaną HX ZLS X o punktach skokowych X, 1 skokach

p< x,) można interpretować jako współrzędną środka masy układu punktów materialnych

M(Xj) o masach m,=p(ji₁) (i całkowitej masie równej I).

PRZYKŁAD 4.2. Wartość oczekiwana ZLS X o punktach skokowych x, = 2, x,=8 i skokach odpowiednio p, =0,1 i p, =0,9 (por. przykład 4.1) jest "zwykłą" sumą:

0X = 2-0,1+8-0,9 = 7,4.

PRZYKŁAD 4.3. Wyznaczymy wartość oczekiwaną ZLS X przyjmującej wartości całkowite x_k = k €{1,2,...} z pr-stwami:

p_wSP(X=k)=pq^l ', k = U„.

gdzie pjest daną liczbą z przedziału (0.1), zaś q= l-p. O takiej ZL mówimy, źe ma rozkład geometryczny z parametrem p

Zgodnie z definicją (4.1)

EX = ^kpq^h-1 = p^kq^k'*.

Mamy tu przeliczalną liczbą punktów skokowych, ale wszystkie są liczbami dodatnimi. Dlatego bezwzględna zbieżność szeregu po prawej stronie ostatniej równości jest równoważna zwykłej zbieżności. Szereg potęgowy można różniczkować "wyraz po wyrazie” (wzglądem q), zatem:

PRZYKŁAD 4.4 (7J-. dla której nic istnieje wurtość oczekiwana). Chcemy wyznaczyć wartość oczekiwaną ZL X o funkcji pr-stwa postaci:

p, ssP(X = *,) = (l/2)', gdzie x, =(-2)'/i. i = U....

Na mocy definicji

i-i cl ' 2 i.,

Szereg po prawej stronic jest zbieżny, ale nie bc/wzglednic Zatem, /godnie z definicją, wartość uczckiwana EX me istnieje

Przy obliczaniu pr-stw zapewne Czytelnik zauważył, żc sumowaniu dla ZLS odpowiada całkowanie w przypadku ZLC. Tak leż jest przy określaniu wartości oczekiwanej.

Wartością oczekiwaną ZLC X o GP f nazywamy liczbą EX określoną w zorem:

pod warunkiem, żc całka po prawej strome jest bezwzględnie zbieżna

Wzór (4.2), jeśli uwzględnić warunek unormowania (3.6) dla GP f, można zapisać w postaci: