Matematyka 2 67

366 V. Elementy rachunku prawdo/Hniobicństwa

(porażka). Zatem wszystkie ZL X, mają ten sam rozkład (0-l)_p. Wobec niezależności doświadczeń D,.D_J, --.D_I1 - odpowiadające im ZL X,, X_Jt... X_n są również niezależne. Przy tych oznaczeniach dowodzona równość (5.3) wynika stąd. że zdania "ZL S_n przyjęła wartość k", "k spośród ZL X,, X₂,... X_n przyjęło wartość l^H oznaczają to samo.

Związek (5.3) jest bardzo przydatny przy wyznaczaniu wartości oczekiwanej i wariancji ZL S_n Korzystając bowiem z (5.3) i odpowiednich (jakich?) własności wartości oczekiwanej i wariancji oraz równości (5.1), otrzymujemy:

ES„ = E( X, + X, + ••• + X_n ) = EX, + liX₂ + •••+EX„ = p + p + ••- +p = np, VarS_n = Var( X, + X, +• ••+ X„)= VarX, + VarX, + • ••+ VarX_n =

= pq+pq+~+pq = npq.

Wykazaliśmy więc, że wartość oczekiwana i wariancja ZL S„ o rozkładzie dwumianowym b(n,p) wyrażają się wzorami (5.4)    ES_a = np. VarS_n = npq.

PRZYKŁAD 5.2. ZL X,,X_:tX_i.X₄ są niezależne i mają ten sam rozkład (0-1)^. Obliczymy pr-stwo tego, że ich suma przyjmie wartość: a) równą 2. b) co najmniej równą 2.

Suma X, + X. + X₃-rX₄ jest ZL S₄ o rozkładzie b(4;0,6).

Zatem:

a)    P(X, +X₂ +X₃ + X₄ =2)= P(S₄ =2)= [J)(0.6)²(0,4)⁴"^: =

= 6 0.36 0,16 = 0,3456 - 035.

b)    P(S„ >2) = l-P(S„ <2)=l-[P(S„ = 0)t P(X= l)] =

^s,“(o.l^(0,6)⁰(0-4)⁴"(^0-6)^,(0.4)³ = 1-0,0256-0.1536 =

= 0,8208 » 0,82. ■

ZMIENNA O ROZKŁADZIE POISSONA. Mówimy, że ZLS X ma rozkład Poissona z parametrem ?.>0, co zapisujemy X - Po(>.) Jeśli jej funkcja pr-stw⁽a jest postaci:

(5.5)

p_k sp(X = k)=c~^Xjj77, k—0,1,2...... k>0.

Mając to na uwadze łatwo widać, że pr-stwa (5.5) spełniają warunek unormowania:

ip^X^-l£r='V=e-i.

k^O k-0    k=0

Wartość oczekiwana i wariancja ZL X o rozkładzie Poissona Po(>.) wyrażają się wzorami:

(5.6)    EX=X, VarX = X.

Ograniczymy się do uzasadnienia pierwszej równości:

k=-l

k=(»

Zauważmy, że iloraz >.^k/k! w (5.5) jest (k+l)-s/ym wyrazem rozwinięcia funkcji f(/.) = e* w szereg Maclaunna:

X X².    . X^k. _^X^k

1 +

I! 2! k' £k!’

X>0.

™=£x_kPl=2>^=e-‘Xk£=k«

Xe'^Ł(l+yj-t-^yH +^+-) = Xc'V = ł..

Obliczanie pr-stw p_Ł w rozkładzie dwumianowym b(n,p) jest uciążliwe. Obliczenie ich przybliżonych wartości za pomocą pr-stw p_k w- rozkładzie Poissona umożliwia następujące

TWIERDZENIE 5.1 (o zbieżności rozkładu dwumianowego do rozkładu Poissona). Jeżeli ZL S,.S_;... .S_n.... mają rozkłady dwumianowe b(l,p,).b(2,p_:).....b(n.p„),... oraz np_n=consi = X. X>0, to

(5.7)    lta[||)pS(l-p,r^t-«-^ł^    k-au... .

Z lego twierdzenia wynika następujące przybliżenie Poissona

rozkładu dwumianowego:

(5.8)    x = np. k = 0.u....n. Przybliżenie to jest wystarczająco dokładne, gdy: p<0,l. n>50,

np=X^10.