10280 stat Page! resize

21

Elementy rachunku prawdopodobieństwa

Często stosujemy symbol /x,y(.,.), aby odróżnić łączną gęstość prawdopodobieństwa od gęstości rozkładów' brzegowych zmiennych X i Y, zw^ranych wtedy gęstościami brzegowymi fx(-) i fy(-).

Definicja 2.21. Zmienne losowe X i Y są niezależne, jeśli dla dowolnych zdarzeń A C R i B C R zachodzi

(2.31)

P(X e A,Y € B) = P(X e A)P{Y € B) .

Twierdzenie 2.22. Zachodzą następujące warunki:

(2.32)

l. Zmienne losowe X i Y są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich o,6 € R zachodzi

2. Jeżeli zmienne losowe X iY mają łączną gęstość, to X i Y są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

(2.33)

}_X,Y(x,y) = f_x(x)fY(y)

dla dowolnych x, y € R.

3. Jeżeli zmienne losowe X iY są dyskretne, to X i Y są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

(2.34)

P(X = x,Y = y) = P(X = x)P(Y = y)

dla dowolnych x, y € R.

2.5 Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa

2.5.1 Rozkład dwupunktowy

Doświadczenie losow^re ma tylko dwa możliwe wyniki, zazwyczaj zapisywane jako „1” i „O” (tak / nie, sukces / porażka, prawidłowy / nieprawidłowy, itd.). Prawdopodobieństwo „sukcesu” jest równe p, gdzie oczywiście O < p < 1. Stąd rozkład prawdopodobieństwa dany jest wzorem

(2.35)

P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 - p .

Ważniejsze charakterystyki: E X = p, VarX = p(l - p).

Zastosowanie: rzut monetą, kontrola sprawności pojedynczego elementu na linii produkcyjnej, zaliczenie egzaminu.

2.5.2 Rozkład dwumianowy

Załóżmy, że mamy n niezależnych powtórzeń takiego samego doświadczenia losow-ego, które ma tylko dwa możliwe wyniki (zwane tradycyjnie porażką i sukcesem). Oznacza to, że n razy powtarzamy doświadczenie z rozkładu dwupunktowego. Przez p, tak jak poprzednio, oznaczmy prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie. Wtedy prawdopodobieństwo zajścia k sukcesów w^r n próbach (czyli zdarzenia X = k) określone jest wzorem

(2.36)